Построение кривых регрессий

Этот вопрос можно решить, исходя из содержательного условия задачи, и, естественно, математически. Так, размножение бактерий, насекомых, появление новых частиц в результате физической или химической реакции обычно носит экспоненциальный характер. То есть растёт по экспоненте  , где и  – некоторые константы. С увеличением значений «икс» наблюдается стремительный, прямо-таки «взрывной» рост «игреков», и наши опытные данные (см. рис. выше) как раз напоминают эту ситуацию.
С другой стороны, подходящий тип линии выявляют прямым перебором основных графиков – методом наименьших квадратов строят оптимальную прямую, параболу, гиперболу, экспоненту и т. д., и анализируют, какая функция лучше приближает эмпирические точки. Качество приближения оценивают с помощью индекса детерминации  (чем больше к единице, тем лучше) и средней ошибки аппроксимации  (чем ближе к нулю, тем лучше). Но это, конечно, большой объём работы, который лучше поручить статистическим программам. Простейший перебор можно выполнить в обычном Экселе, и я даже записал небольшой ролик на эту тему (смотреть до конца!!):
Итак, в нашей задаче наилучшим выбором действительно является экспонента  , а конкретно  . Но то было программное решение с готовым результатом, а нам-то нужно всё рассчитать подробно, чем мы сейчас и займёмся:
2) Методом наименьших квадратов найдём уравнение нелинейной, в данном случае экспоненциальной регрессии  .
Коэффициенты  и  определим из решения системы:
, где 
Откуда и из каких соображений взялась эта система, можно узнать в статье Метод наименьших квадратов, ну а мы займёмся её эксплуатацией. Заполним расчётную таблицу (в нижней строке – суммы по столбцам):

Неоднократно повторял, но ещё раз – подобные расчёты легко и быстро выполняются в MS Excel.Для вычисления натурального логарифма используем стандартную функцию =LN( ).
! Примечание: суммы в последних двух столбцах выглядят округлёнными, но Эксель рассчитывает их более точно, поэтому в последующих вычислениях формально будут некоторые погрешности. Кроме того, довольно часто я буду пренебрегать значком  , записывая строгое равенство.
Таким образом, получаем систему:

Систему решим по формулам Крамера. Вычислим главный определитель:
, значит, система имеет единственное решение.