Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества
Рассмотрим задачу наилучшего приближения в гильбертовом пространстве H. H – полное пространство и для его элементов можно ввести понятие ортогональности. Поэтому и задачу о наилучшем приближении в H можно решить полностью. Пусть в H задано множество M, точка xH. Определим расстояние от точки x до множества M следующим образом:
Теорема: Пусть M – замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве H и точка xM. Тогда существует единственный элемент yH: .
Свойства:
Если тогда .
xH: x = y+z; yL, z ,причем такое представление единственно.
- подпространство в H. .
Если L – линейное многообразие в H, то L плотно в H тогда и только тогда, когда .


https://habr.com/ru/post/579914/