Потенциал куч майдони ва куч функцияси хоссалари. Режа

Айтилган ифодаларни мисолларда баён қилиб берамиз.
1. Бир жинсли оғирлик кучи майдонида (231шакл), (59) формуладан кўриниб турганидек, агар z=cоnst бўлса U=cоnst бўлади. Демак, сатҳ сиртлари горизонтал текисликдан иборат бўлади. Оғирлик кучи -нинг йўналиши, шу горизонтал текисликларга перпендикуляр бўлиб, U -нинг ортиш томонига йўналади ва шу сиртнинг ҳамма нуқталарида бир хил қийматга эга бўлади.
2. Тортилиш кучи майдонида, (59’’) формулага асосан r= cоnst бўлса, U= cоnst бўлади. Демак, сатҳ сиртлари концентрик сфералардан иборат бўлар экан, ва уларнинг маркази тортилиш марказида жойлашар экан. Бундай майдондаги кучнинг йўналиши, тегишли сферанинг нормали бўйича U функциянинг ортиш (r -нинг камайиш томонига, масалан, Ернинг марказига -тарж) томонига йўналар экан, яҳни сферанинг маркази томонига.
Агар, потенциал куч майдонида, моддий нуқталар ситемаси жойлашган бўлса, унинг куч функцияси, система нуқталари координаталарининг шундай функцияси U(x₁, y₁, z_{1, ...} x_n, y_n, z_n) дан иборат бўладики, унинг учун
dU=dA_k (62)
қаноатланиши шарт, яҳни унинг дифференциали системага таoсир этувчи майдон кучларининг бажарган элементар ишларининг йиғиндисига тенг бўлар экан.



Потенциал энергия.
Механик энергиянинг сақланиш қонуни.
Потенциал куч майдони учун, потенциал энергия деган тушунча киритилиб, у куч майдонининг мазкур пунктидаги моддий нуқтанинг ҳаракатида (унинг шу сатҳдан, нол сатҳга кўчишида -тарж) бажарилиши мумкин бўлган «запас иш»нинг миқдорини харакатерлаб беради. Турли сатҳларда жойлашган моддий нуқталарнинг «запас ишларини» солиштириш учун, шу майдонда жойлашган ва «запас иши» нолга тенг бўлган О нуқта танланади (нол нуқтанинг ўрнини, ҳисоб системасининг бошини танлаб олиш каби ихтиёрий равишда танлаб олинади). Моддий нуқтанинг мазкур М пунктидаги потенциал энергияси деб, нуқтанинг шу пунктдан нол (U₀=0)
П=А_(МО)
нуқтага кўчишида майдон кучларининг бажариши мумкин бўлган ишга тенг миқдордаги скаляр П қийматга айтилади.
Юқоридаги таҳрифдан кўриниб турибдики, потенциал энергия М нуқтанинг x, y, z координаталарига боғлиқ экан, яҳни П=П(x, y, z). Бундан кейин, П(x, y, z) ва U(x, y, z) функцияларнинг нол нуқталари устма-уст жойлашган деб ҳисоблаймиз. У ҳолда, U₀=0 бўлади, шу сабабли (57) формулага кўра А_МО=U₀ -U=-U бўлади, бу ердаги U -майдоннинг М нуқтадаги кучнинг функцияси. Шундай қилиб,
П(x, y, z)=-U(x, y, z),
яҳни, куч майдонининг ихтиёрий нуқтасидаги потенциал энергия, шу нуқтадаги куч функциясининг тескари ишорали қийматига тенг экан.
Бундан кўриниб турибдики, потенциал куч майдонининг барча хусусиятларини ўрганишда, куч функциясининг ўрнига потенциал энергия тушунчасидан фойдаланиш мумкин экан. Хусусан, потенциал кучнинг бажарган ишини ҳисоблашда (57) формуланинг ўрнига
=П₁-П₂ (63)
формуладан фойдаланиш мумкин экан.
Демак, потенциал кучнинг бажарган иши, ҳаракатланаётган нуқтанинг бошланғич ва кейинги ҳолатларидаги потенциал энергияларининг айирмасига тенг экан.
Бизга маoлум бўлган куч майдонларининг потенциал энергиясининг ифодаларини П=-U эканлигини ҳисобга олиб (59) - (59’’) тенгликлардан аниқлаш мумкин экан. Шундай қилиб, потенциал энергия:
1) о ғ и р л и к к у ч и майдони учун (z -ўқи вертикал равишда юқорига йўналган),
П=Рz; (64)
2) э л а с т и к л и к к у ч и нинг майдони учун
П=сx²/2; (64’)
3) т о р т и л и ш к у ч и нинг майдони учун
П=-mgR²/r. (64’’)
Системанинг потенциал энергияси битта нуқтанинг потенциал энергияси каби аниқланади, яҳни: механик системанинг мазкур ҳолатидаги потенциал энергияси П, системанинг мазкур ҳолатдан нол ҳолатга кўчишда бажарилиши мумкин бўлган ишнинг қийматига тенг бўлади, яҳни
П= .
Агар бир вақтнинг ўзида бир нечта куч майдонларида (масалан, оғирлик кучи ва эластиклик кучи майдонларида) турилса, ҳар бир майдон учун, ўзининг алоҳида бўлган нол ҳолатларини танлаб олиш керак.Системанинг потенциал энергияси ва унинг куч майдони орасидаги муносабат ҳам, нуқталардаги каби бўлади, яҳни
П(x₁, y₁, z_{1, ....} x_n, y_n, z_n)=-U(x₁, y₁, z_{1, ....} x_n, y_n, z_n);
Механик энергиянинг сақланиш қонуни. Системага таoсир этувчи барча ташқи ва ички кучлар потенциал кучлардан иборат, деб фараз қилайлик. У ҳолда
А_k=П₀-П₁.
Ишнинг бундай ифодасини (56) формулага келтириб қўйсак, системанинг ихтиёрий ҳолати учун ўринли бўлган: Т-Т₀=П₀-П ёки
Т+П=Т₀+П₀=соnst (65)
ифодани аниқлаймиз.


Демак, потенциал кучлар таoсиридаги ҳаракатда, системанинг ихтиёрий ҳолатидаги кинетик ва потенциал энергияларининг йиғиндиси ўзгармас қийматлигича қолаверар экан. Физикадаги умумий энергиянинг сақланиш қонунининг, хусусий ҳолидан иборат бўлган механик энергиянинг сақланиш қонуни деб шунга айтилади. Т+П қиймат, системанинг тўлиқ механик энергияси деб аталади ва (65) қонун ўринли бўлган механик система консерватив система деб аталади.
Мисол. Вертикалга нисбатан ₀ бурчакка оғдирилиб, бошланғич тезликсиз қўйиб юборилган (320 шакл) маятникни кўриб чиқайлик. Бошланғич ҳолатдаги П₀=Рz₀ ва T₀=0, бу ердаги Р -маятникнинг оғирлиги; z -унинг оғирлик марказининг координатаси. Демак, агар ҳамма қаршилик кучларини ҳисобга олмасак, ихтиёрий бошқа ҳар қандай ҳолат учун П+Т=П₀ бўлади ёки Рz+J_A²/2=Рz_0,
бўлади.
Шундай қилиб, маятникнинг оғирлик маркази z₀ -баландликдан юқорига кўтарила олмас экан. Маятник пастга ҳаракатланган сари, унинг потенциал энергияси камайиб боради, кинетик энергияси эса ортиб боради. Кўтарилишида эса, кинетик энергияси камайиб боради, потенциал энергияси эса камайиб боради. Юқорида тузилган тенгламадан, ²=2Р(z⁰-z)/J_A эканлигини аниқлаймиз.
Шундай қилиб, ихтиёрий олинган вақтда маятникнинг бурчакли тезлиги, фақат унинг оғирлик марказининг баландлигига боғлиқ экан, ва шу баландликка яна ҳар бир марта кўтарилганда , унинг бурчакли тезлиги яна шу қийматга тенг бўлар экан. Бундай боғликлик, фақат потенциал куч майдонидаги ҳаракатдагина содир бўлиши мумкин холос.