Практическая работа «математические основы эвм»

A(10)	B(10)	C(10)	D(10)	E(10)	F(10)
H(16)
1	112,485	-122,301	-53,068	85,270	-28,39	14	А7,1E
2	115,281	-84,714	60,134	-82,785	-14,35	-27	F6,38
3	80,479	-101,910	-51,676	100,905	-42,51	-21	52,6D
4	-31,624	118,374	81,063	-119,716	-14,41	-15	29,A8
5	-119,730	125,177	-104,705	81,786	-18,26	36	D2,6A
6	82,977	-120,815	128,198	-92,663	-25,24	-18	1B,1
7	-59,583	113,260	56,793	-122,628	12,13	-27	82,C2
8	92,403	-106,971	-102,630	119,761	-19,23	-12	2A,B7
9	-64,502	108,827	103,947	-122,569	-15,60	35	FD,45
10	-50,921	119,64	82,682	-113,515	-10,08	-17	A8,F4
11	-96,847	110,616	79,723	-121,841	-26,70	-17	CA,16
12	-121,399	83,956	-62,410	124,840	17,40	13	14,AF
13	120,690	-98,959	67,290	-117,72	-11,62	-21	BF,5
14	-109,237	54,897	125,400	-53,614	-18,44	-20	13,BF
15	-88,843	114,158	80,305	-124,791	-22,80	-32	45,1D
16	-97,347	76,428	-107,494	120,413	-30,86	-26	5F,9B
17	73,395	-108,612	122,418	-83,818	25,81	-19	C1,9F
18	115,718	-95,541	70,307	-123,142	-32,08	-19	BA,37
19	121,89	-102,788	-114,129	90,619	-21,39	-31	9F,4A
20	104,141	-72,549	66,047	-91,794	12,55	-25	8D,C3
21	74,425	-100,194	116,997	-80,483	-27,45	21	16.BC
22	84,589	-121,173	111,941	-91,954	-26,25	21	4A,CF
23	97,088	-78,455	63,365	-109,159	-19, 62	-16	B6,F5
24	96,887	-113,282	117,360	-85,463	-29,24	-18	1F,A3
25	85,218	-109,996	102,847	-76,546	-10,18	23	57,4B
26	-107,237	64,897	-85,561	122,614	21,44	20	F6,A9
27	-73,942	104,641	-113,55	62,682	23,08	15	3C,2B
28	-109,237	81,063	124,840	-98,959	29,22	-33	C1,9F
29	115,281	-106,971	-62,410	120,413	25,81	21	2A,B7
30	84,589	-101,910	103,947	-123,142	-19, 62	-12	52,6D

2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1. Системы счисления
Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.
Система счисления, которую мы используем, называется позиционной, так как одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.
Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления - “p”.
В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять.
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:
N = a_K p^K + a_K-1 p^K-1 + ... + a₁ p¹ + a₀ p⁰ + a_-1 p^-1 + a_-2 p^-2 + ... . (1.1)
здесь N - число, a - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления (p >1).
В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое - 1. Поэтому основной системой счисления применяемой в ЭВМ является двоичная система.
Двоичная система счисления. Позиционная двоичная система счисления имеет базовый набор цифр – {0 , 1}, т.е. основание p₍₂₎ = 2 . Иногда эти двоичные числа называют битами (от англ. binary digit). Чтобы отличить двоичное число от десятичного его дополняют справа суффиксом В (Binaire) или нижним индексом {2}. По умолчанию считается, что «0» - «выключено» (LOW signal), а «1» - «включено» (HIGH signal). В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:
X = b_M 2^M + b_M-1 2^M-1 + ... +b₁ 2¹+b₀ 2⁰ +b_-1 2^-1 + b_-2 2^-2 + ... (1.2)
где b_J либо 0, либо 1.
Шестнадцатеричная система счисления. Записывать двоичные числа большой разрядности утомительно. Поэтому, как правило, они представляются более компактными записями с использованием шестнадцатеричной системы счисления. Шестнадцатеричная система счисления менее привычна для нас, поскольку не применяется нами при повседневном счете (конечно, если вы не программист).
Данная система счисления использует следующий базовый набор из 16 цифр и букв
{0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}, поскольку ее основание p = 16. Для отличия от остальных систем счисления после цифр часто ставят латинскую букву H (иногда h) – 3FBC27H или 3FBC27h.
Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 1).
Восьмеричная система счисления. Используется восемь базовых цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Восьмеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).
Таблица 1

Двоичная (Основание 2)	Восьмеричная (Основание 8)		Десятичная (Основание 10)	Шестнадцатеричная (Основание 16)
		Триады			Тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую
2.1 Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Перевод осуществляется путем составления степенного ряда ([1.1], [1.2]) с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
Пример 1.
а) Перевести двоичное число 10101101,101₂ в десятичную систему счисления.
10110101,.101₂= 1·2⁷ + 0·2⁶ +1·2⁵ + 0·2⁴ +1·2³+1·2² + 0·2¹ +1·2⁰ +1·2^-1 + 0·2^-2 +1·2^-3 =
= 173,625₁₀
б) Перевести восьмеричное число 703,04₈ в десятичную систему счисления.
703,04₈=7·8²+0·8¹+3·8⁰+0·8^-1+4·8^-2=451,0625₁₀
в) Перевести шестнадцатеричное число B2E,4₁₆ в десятичную систему счисления.
B2E,4₁₆ =11·16²+2·16¹+14·16⁰+4·16^-1=2862,25₁₀.
2.2 Перевод неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием
Для перевода десятичных чисел в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть числа и отдельно дробную.
Перевод целой части осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Для перевода дробной части необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы в которую она переводится, до тех пор пока дробная часть произведения не будет равняться нулю или не будет достигнута заданная точность перевода. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример 2.
Перевести число 23,575₁₀ в двоичную систему счисления.
1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.
Таким образом: 23₁₀ = 10111₂; 0.575₁₀ ≈ 0,1001₂.
Результат: 23.575₁₀ =10111,1001₂.