Практикум по инженерной геодезии./ Б. Б. Данилевич, В. Ф. Лукьянов, Б. С. Хейфиц и др. Под ред. В. Е. Новака. М.: Недра, 1987. 334 с

Тема 3. Оценка точности результатов геодезических измерений.


3.2. Критерии оценки точности равноточных измерений.


Равноточные измерения – результаты измерений одной и той же величины несколько раз при неизменном основном комплексе условий, то есть одинаковыми инструментами, одним и тем же методом при одинаковых внешних условиях и лицами одинаковой квалификации.
Точность измерений – степень близости результата измерения к действительному значению измеряемой величины. Точность измерений характеризуют некоторой средней величиной случайной погрешности.
В качестве теоретической характеристики точности измерений чаще всех берут среднее квадратичное отклонение:

где Д – дисперсия случайной величины

- математическое ожидание = - среднему арифметическому при достаточно большом числе измерений.
- случайная погрешность измерения.
Величина является теоретической характеристикой, но ее численная величина не бывает известна, поэтому практически пользуются ее приближенным значением – средней квадратичной погрешностью, определяемую по формуле Гаусса:


,

На практике используют также формулу Бесселя:

,

где - отклонение от арифметической средней;

- арифметическая средняя многократных измерений
Теоретической характеристикой точности измерений служит также предельная погрешность:



где - коэффициент, значение которого принимают 3; 2,5; 2, при которых вероятность появления погрешности по абсолютной величине больше предельной была мала, то

Обычно вместо берут m и вычисляют

3.3. Оценка точности по разностям двойных измерений. Неравноточные измерения и оценка их точности.

Если каждая величина данного ряда измерена дважды и все измерения равноточные, то среднюю квадратическую погрешность одного измерения можно определить по разностям, полученных для каждой пары этих измерение, то есть:

d_i = l_i –

При точных измерениях l_i – = 0, поэтому на основании погрешности измерения =

погрешности разностей , тогда средняя квадратическая погрешность одной разности:


^,

или ,

а так как , то

(2 измерения)

отсюда ,

или .

Если результаты измерений получены не в одинаковых условиях и им соответствуют различные средние квадратические погрешности, то такие измерения называют неравноточными.

При обработке неравноточных измерений вводят новую характеристику точности измерения – вес измерения:


или так как .

где К - произвольно выбранное тело, одинаковое для всех р.

Так как К – произвольное тело, то р – относительная характеристика точности.
Свойство весов:
- отношении весов не изменяется, если вес веса уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз

- ;

то есть веса двух измерений обратно пропорционально квадратам средних квадратичных погрешностей этих измерений.
Если вес результата одно из измерений принять за 1, то
и .

Величину m называют погрешностью единицы веса и обозначают .

.

Тогда .

Доказано, что вес среднего арифметического Р равен сумме весов всех измерений, то есть:

, тогда

средняя квадратическая погрешность неравноточных измерений равна:

,

что позволяет оценить точность результатов измерений и среднего арифметического.

Лекция 8.