Практикум по инженерной геодезии./ Б. Б. Данилевич, В. Ф. Лукьянов, Б. С. Хейфиц и др. Под ред. В. Е. Новака. М.: Недра, 1987. 334 с

Тема 2. Топографичиские материалы


2.8. Определение площадей по картам и планам

При оценке рельефов участка местности, отводимых для с/х землепользования и другие цели, по картам и планам определяют их площадь. Под определением площади понимают совокупность измерительных и вычислительных операций, в результате которых получают площади участка в земельной мере.

Существуют следующие способы определения площадей:
- аналитический;
- графический;
- механический.
1. Аналитический способ. Площади вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности с применением формул геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии.
Площади больших участков, целых землепользований вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности или по их функциям – приращениям координат и координатам вершин полигона.
Вычисление площади полигона по координатам его вершин.
Установлено для любого прямоугольника:

2S =

Преобразуя выражение можно получить:

1) ,

то есть, удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и последующей точек.

2) ,

то есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей точек.

2. Графический способ. Площади вычисляют по результатам измерений линий по плану (карте0, когда участок изображений на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры. Сумма площадей дает площадь всего участка. К графическому способу относят определение площади при помощи палеток:
- квадратичные;
- параллельные.
Квадратная палетка представляет собой сеть взаимно перпендикулярных линий проведенных через 1 – 2 мм на прозрачной основе. Площадь фигуры определяется простым подсчетом клеток палетки наложенной на фигуру. Для упрощения подсчетов проводят утолщение линии через 0,5 и 1 см, чтобы число клеток можно было подсчитать сразу группами ( 25 и 100 мм²).
Величины 1, 4, 25, 100 мм² в разных масштабах соответствуют площадям в га на местности (таблица)

Площади палеток		Масштабы планов
мм^2	см^2	1:5000	1:10000	1:25000	1:50000
1	0,01	0,0025	0,01	0,0625	0,25
4	0,04	0,01	0,04	0,25	1
25	0,25	0,0625	0,25	1,5625	6,25
100	1	0,25	1	6,25	25

Параллельная палетка – нанесены параллельные линии на прозрачной основе преимущественно через 2 мм.

Площадь контура определяется положением палетки так, чтобы крайние точки а и в разместились посредине между параллельными линиями палетки.
То есть весь контур оказывается на фигуры, близкие к трапециям с одинаковыми высотами.
Так как все высоты равны, то


P = h (cd + ef + … kl)


3. Механический способ основан на измерении площадей специальным прибором - планиметром. Наиболее широко применяются полярные планиметры. Состоит из двух рычагов: обводного и полюсного, соединенных штифтом. На одном конус обводного рычага находится передвижная каретка со счетным механизмом, на другом обводная мгла, опорный штифт и ручка.
Перед измерением обводную иглу устанавливают над какой-либо точкой внешнего контура угольника и по счетному механизму делают начальный отсчет и₁ . После полного обвода контура делают конечный отсчет и₂.
Искомая площадь при положении полюса вне контура определяют:


S = c (u₂ – u₁)

при полюсе внутри контура

S = c (u₂ – u₁ + q)

где, c - цена деления планиметра;

q - постоянная планиметра при установке его внутри контура участка.

Величину с определяют после обведения фигуры с известной площадью.

После получения с вычисляют q. Для удобства расчетов каретку со счетным механизмом устанавливают так, чтобы c было равно 0,1, 0,01 и т. д.
При работе полярным планиметром обвода производят при среднем прямом угле между рычагами и так, чтобы этот угол был . Чтобы избежать накапливания погрешностей при обводе большого количества контуров и компенсации грубых ошибок при определении площадей, разбивают площадь участка на секции, включающие по 50-100 контуров; площади секций увязывают в общий площади участка, а площади контуров – а площади каждой секции отдельно.
При увязке площадей секций в общей площади участка Р допустимость невязки определяют по формуле:

Допустимость невязки в сумме площадей контуров при сравнении ее с общей площадью участка или секции:

где, - относительная цена деления планиметра;

n - число контуров;
M - знаменатель численного масштаба плана;
P - площадь участка (секции) в га.
Лекция 6.