Предел и непрерывность функции. Бесконечно малая и бесконечно большие величины

Справедлива теорема

• Доказать, что функция при х→∞ имеет предел.

• существует

• у

• x

• 0

• ←

• →

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

• Функция α=α(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х0 (или при х→х0), если

• Аналогично определяются бесконечно малые функции при х→х0- , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞.

• Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малая переменная величина.

Пример:

• 1) функция есть бесконечно малая при х→1, т.к

• 2) функция
• есть бесконечно малая при х→∞, т.к

• g(x)

• x

• 0

• y

• x

• 0

• 1

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х0 (или при х→х0), если

• Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х0 (или при х→х0), если

• Аналогично определяются бесконечно большие функции при х→х0- , х→х0+, х→-∞, х→+∞, х→∞.

• Если f(x) стремится к бесконечности при х→х0 и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

Замечание. Функция y=f(x) при х→х0 или при х→∞ может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

• Пример. Функция y=sinx, определенная на всем числовом интервале, при х→∞ не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности.