Преобразование сигналов в системах. Transformations of signals in systems. Сайт проф. Давыдова А. В

Примеры.
1. Система y(t) = a²t. y(t₁) = a²t₁, y(t₂) = a²t₂, y(ct) = a²ct.
y(t₁+t₂) = a²(t₁+t₂) = a²t₁+a²t₂ = y(t₁)+y(t₂). Система аддитивна.
cy(t) = ca²t = a²ct = y(сt). Система однородна. И в целом линейна.
2. Система y(t) = at². y(t₁) = at₁², y(t₂) = at₂², y(ct) = a(ct)² = ac²t².
y(t₁+t₂) = a(t₁+t₂)²  y(t₁)+y(t₂)= at₁²+at₂². Система не аддитивна.
с y(t) = с at²  y(сt) = ac²t². Система неоднородна. И в целом нелинейна.
При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и/или выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен в технической документации или методической инструкции.
Основные системные операции. К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:
y(t) = b  x(t), y(t) = x(t-t), y(t) = a(t)+b(t).


Рис. 11.1.1. Графика системных операций
Графическое отображение операций (цифровая форма) приведено на рис. 11.1.1.
Отметим, что операции сложения и умножения являются линейными только для аналоговых и дискретных сигналов. В случае цифровых сигналов они линейны относительно самих цифровых сигналов, но если последние - результат операции амплитудно-цифрового преобразования, то сложение и умножение не может считаться линейным абсолютно точно по отношению к исходным сигналам.
Для систем, с размерностью 2 и более существует также еще одна базовая операция, которая называется операцией пространственного маскирования, которая может рассматриваться как обобщение скалярного умножения. Так, для двумерных систем:
z(x,y) = c(x,y)u(x,y),
где u(x,y) – двумерный входной сигнал, c(x,y) – пространственная маска постоянных (весовых) коэффициентов. Пространственное маскирование представляет собой поэлементное произведение значений сигнала с коэффициентами маски.
Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу (инвариантной во времени, а равно и по любым другим аргументам), если сдвиг входного сигнала по аргументам вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:
s(x,t) = T[a(x,t)], T[a(x-x,t-t)] = s(x-x,t-t).
Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, и не зависит от времени поступления сигнала на вход системы. Инвариантность системы к сдвигу является одним из подтверждений постоянства ее параметров.
Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала (возведения в квадрат всех значений сигнала) инвариантна к сдвигу, но нелинейна.
В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.
Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала.
Другой важной особенностью ЛИС - систем является то, что любые их комбинации также являются ЛИС - системами, а любую сложную ЛИС - систему можно разложить на комбинации простых систем. Так, например, при последовательном (каскадном) соединении систем, когда выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т.д., образуемая система в целом также является ЛИС - системой, если линейны и инвариантны к сдвигу все системы, в нее входящие, при этом по отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет.
Математическая модель системы, как совокупности связанных физических, радио-, электротехнических и/или программных элементов, образующих устройство, способное воспринимать внешнее воздействие x(t) и выполнять его преобразование в некоторую выходную величину y(t), в наиболее общей описывается системой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения представляют собой универсальный инструмент задания определенной связи между сигналами входа и выхода в как в одномерных, так и в многомерных системах, и могут описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно. Так, в аналоговой одномерной линейной системе такая связь обычно выражается линейным дифференциальным уравнением
a_m = b_n . (11.1.1)
При нормировке к а_о = 1, отсюда следует
y(t) = b_n – a_m . (11.1.1')
По существу, правой частью этого выражения в самой общей математической форме отображается содержание операции преобразования входного сигнала, т.е. задается оператор трансформации входного сигнала в выходной. Для однозначного решения уравнений (11.1.1) кроме входного сигнала s(t) должны задаваться определенные начальные условия, например, значения решения y(0) и его производной y'(0) по времени в начальный момент времени.
Аналогичная связь в цифровой системе описывается разностными уравнениями
a_m y((k-m)t) = b_n s((k-n)t). (11.1.2)
y(kt) = b_n s((k-n)t) – a_m y((k-m)t). (11.1.2')
Последнее уравнение можно рассматривать как алгоритм последовательного вычисления значений y(kt), k = 0, 1, 2, …, по значениям входного сигнала s(kt) и предыдущих вычисленных значений y(kt) при известных значениях коэффициентов a_m, b_n и с учетом задания начальных условий - значений s(kt) и y(kt) при k < 0. Интервал дискретизации в цифровых последовательностях отсчетов обычно принимается равным 1, т.к. выполняет только роль масштабного множителя.
Нерекурсивные системы. При нулевых значениях коэффициентов a_m уравнение (11.1.2') принимает вид:
y(k) = b_n x(k-n). (11.1.3)
При установленных значениях коэффициентов b_n значения выходных отсчетов свертки для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такая система называется нерекурсивной цифровой системой (НЦС). Нетрудно заметить, что уравнение (11.1.3) полностью повторяет уравнение свертки произвольного сигнала s(k) с импульсным откликом системы h(n), которое уже рассматривалось в теме динамического представления сигналов с базовой позиции "от сигнала". В данном случае, это уравнение получено в более строгой математической форме "от системы" и, как это следует из вышеизложенного, является только частным случаем системного уравнения (11.1.1). Отсюда следует также, что для НЦС импульсным откликом системы является непосредственно ядро свертки b_n = h_n. Но это действительно только для НЦС. Для систем, описываемых полной формой уравнений (11.1.1) и (11.1.2), импульсный отклик h(n) не равен коэффициентам b_n, а зависит и от коэффициентов a_m, и представляет собой именно отклик системы на единичный входной сигнал.


Рис. 11.1.2. Пример НЦС.
Пример простейшей НЦС приведен на рис. 11.1.2. Интервал суммирования по n получил название "окна" системы. Окно системы (11.1.3) составляет N+1 точку, система является односторонней каузальной, причинно обусловленной текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, выходной сигнал не опережает входного. Каузальная система может быть реализована аппаратно в реальном масштабе времени. При kПри обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности системного оператора снимается. В программном распоряжении системы могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входных отсчетов, при этом уравнение (11.1.3) будет иметь вид:
y(k) = b_n x(k-n). (11.1.3')
При N' = N система называется двусторонней симметричной. Симметричные системы, в отличие от каузальных, не изменяют фазы обрабатываемых сигналов.
Описанный процесс свертки в вещественной области массива данных x(k) с нерекурсивным оператором системы b_n (массивом весовых коэффициентов системы) обычно называют нерекурсивной цифровой фильтрацией данных, а саму систему, если она выполняет только данную операцию, нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ).