Преобразование сигналов в системах. Transformations of signals in systems. Сайт проф. Давыдова А. В

Пример. Сглаживание данных скользящим симметричным П-окном размером 5 отсчетов.
Уравнение НЦФ: y_k = b_n x_k-n, b_n = 0,2. Начальные условия - нулевые.
Входной сигнал: x_k = {0,0,0,0,10,0,10,0,0,0,0}. Выходной сигнал: y_k = {0,0,2,2,4, 4, 4,2,2,0,0}.
Проверьте результат (выполните фильтрацию сигнала).
Заметим: сумма коэффициентов b_n сглаживающего НЦФ равна 1, при этом сумма значений выходного сигнала равна сумме значений входного сигнала. Сигнал "размазался" по аргументу.




Рис. 11.1.3. Пример РЦС.
Рекурсивные системы. Системы, которые описываются полным разностным уравнением (11.1.2), принято называть рекурсивными цифровыми системами (РЦС) или рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих значений выходного сигнала участвует не только входной сигнал, но и значения выходного сигнала, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные системы называют системами с обратной связью. Пример рекурсивной системы приведен на рис. 11.1.3.


Рис. 11.1.4. Техника вычислений в РЦС.
Полное окно рекурсивной системы состоит из двух составляющих: нерекурсивной части b_n,, аналогичной окну нерекурсивной системы и ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала), и рекурсивной части a_m, которая работает только с "прошлыми", ранее вычисленными значениями выходного сигнала. Техника вычислений для РЦС приведена на рис. 11.1.4.
Пример. Уравнение РЦС: y_k= b_ox_k+a₁y_k-1, при b_o=a₁=0.5, y_-1=0. Входной сигнал: x_k = {0, 10, 0, 0, 0,....}.
Расчет выходного сигнала:
у_o = 0,5x_o + 0,5y_-1 = 0 y₁ = 0,5x₁ + 0,5y_o = 5 y₂ = 0,5x₂ + 0,5y₁ = 2.5 y₃ = 0,5x₃ + 0,5y₂ = 1.25
y₄ = 0,5x₄ + 0,5y₃ = 0.625 y₅ = 0,5x₅ + 0,5y₄ = 0.3125 и т.д.
Выходной сигнал: y_k = {0, 5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125, 0.15625,...}
Из примера можно видеть, что реакция РЦС на конечный входной сигнал, в принципе, может иметь бесконечную длительность, в отличие от реакции НЦС, которая всегда ограничена количеством членов b_k (окном системы).
Пример. Уравнение РЦС: y_k = b_ox_k+a₁y_k-1+a₂y_k-2, при b_o=a₁=a₂=1. x_k = {0, 1, 0, 0, 0,....}, y_-1 = y_-2 = 0.
Расчет выходного сигнала:
y_o = x_o+y_-1+y_-2 = 0. y₁ = x₁+y_o+y_-1 = 1. y₂ = x₂+y₁+y_o = 1. y₃ = x₃+y₂+y₁ = 2.
y₄ = x₄+y₃+y₂ = 3. y₅ = x₅+y₄+y₃ = 5. y₆ = x₆+y₅+y₄ = 8. y₇ = x₇+y₆+y₅ = 13. и т.д.