Преобразование сигналов в системах. Transformations of signals in systems. Сайт проф. Давыдова А. В

Заметим: сумма коэффициентов обратной связи a_i больше 1 и выходной сигнал идет "в разнос".
Пример. Интегрирование данных по формуле трапеций.
Уравнение РЦФ: y_k=(x_k+x_k-1)/2+y_k-1, начальные условия - нулевые.
Входной сигнал: x_k={0,0,2,2,8,0,4,4,0,..}.
Выполните фильтрацию. Контроль: y_k= {0,0,1,3,8,12,14,18,20,20,...}.
11.2. нерекурсивная ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ [1, 8, 22, 31]
Предмет фильтрации сигналов является основной областью применения нерекурсивных систем. Под фильтрацией будем понимать любое преобразование, при котором во входных сигналах целенаправленно изменяются определенные соотношения (динамические или частотные) между различными компонентами этих сигналов.
К операциям фильтрации информации традиционно относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основным методом фильтрации данных являются частотная селекция сигналов. Системы, выполняющие операции фильтрации, обычно называют фильтрами.
Операция свертки сигнала с ядром (оператором) фильтра отображается в частотной области умножением спектра сигнала на частотный образ оператора фильтра. Тем самым, мы получаем возможность целенаправленно изменять спектр сигнала. Например, в звукозаписи изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов. При обработке изображений фильтрация позволяет применять к изображению разные эффекты: размытие, подчеркивание границ, тиснение и пр. В самых различных областях фильтрация часто служит для разделения сигналов, смешанных в один, очищения сигнала от шумов, а также является составным компонентом многих других, более сложных процессов.
Частотные характеристики фильтров. В общем случае, фильтр меняет в спектре сигнала и амплитуды, и фазы гармоник. Однако фильтры можно проектировать так, чтобы они или не меняли фазу сигнала, или сдвигали все гармоники сигнала по времени на одну и ту же величину (сдвигали во времени весь сигнал). Такие фильтры называют фильтрами с линейной фазой.


Рис. 11.2.1. Пример АЧХ фильтра.
Основное свойство фильтра – его амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики (АЧХ и ФЧХ). Они показывают, какое влияние фильтр оказывает на амплитуду и фазу различных гармоник обрабатываемого сигнала. Если фильтр имеет линейную фазу, то рассматривается только АЧХ фильтра. Обычно частотная характеристика изображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (в децибелах). Так, если фильтр пропускает все сигналы в какой-либо полосе частот без изменения (коэффициент передачи равен 1), то это отображается значением 0 дБ. Подавление каких либо частот отображается со знаком минус (в 2 раза  -6 дБ, в 10 раз  -20 дБ, в 100 раз  -40 дБ), а усиление, соответственно, со знаком плюс. Пример частотной характеристики фильтра приведен на рис. 11.2.1.
В зависимости от общего вида частотной характеристики можно выделяют следующие распространенные типы фильтров: НЧ-фильтры (low-pass filters), ВЧ-фильтры (high-pass filters), полосовые фильтры, которые пропускают (band-pass filters) или подавляют (band-reject filters) сигнал только в определенной частотной полосе. Существуют и другие типы фильтров с более сложными частотными характеристиками.
Обычно в задачах фильтрации сигнала задается требуемая частотная характеристика фильтра. Построить в точности заданный фильтр обычно бывает не так просто. Тогда строится фильтр, близкий по характеристикам к заданному.
Например, невозможно построить идеальный фильтр низких частот, который пропускает без изменения все сигналы ниже определенной частоты (в полосе пропускания, pass band) и полностью подавляет все сигналы выше этой частоты (в полосе подавления, stop band). Такой фильтр реализуется оператором бесконечно большого размера. Реальные фильтры низких частот обладают плавным переходом от полосы пропускания (0 дБ с максимально возможными отклонениями обычно не более ±0.5 дБ) к полосе подавления, где сигнал подавляется, как правило, более чем в 100-1000 раз (рис. 11.2.1). Крутизна спада и значения подавления после спада определяются конкретными требованиями к фильтру.
В пределе, частотная характеристика фильтра может задаваться произвольной кривой. Например, фильтр может иметь несколько частотных полос пропускания с разными коэффициентами усиления, разделенных полосами с разными коэффициентами подавления.