При изучении вещества приходится иметь дело с системами, содержащими огромное число элементов. В 1 см

5. Распределение Больцмана

Важную роль в различных приложениях играет формула Больцмана, описывающая изменение плотности газа в различных силовых полях. Рассмотрим сначала изменение атмосферного давления с высотой. Выделим столбик воздуха высотой h и составим уравнение, описывающее изменение давления с высотой.

Рис.

Имеем

.

Полагая и используя уравнение состояния

,

получим

.

Следовательно,

,
.

Учитывая условие , получим . Окончательно имеем

.

Полученную формулу называют барометрической. Она лежит в основе приборов для определения высоты - высотомеров.

Запишем уравнение состояния в виде


.

Подставляя эти выражения в барометрическую формулу, получим

.

Полученная формула называется распределением Больцмана. Она описывает зависимость концентрации молекул воздуха от высоты. График этой функции приведен ниже.

Рис.

Выражая молярную массу через массу одной молекулы

,

преобразуем формулу Больцмана к другому виду:

,

где - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения. Отметим, что природа поля U может быть любая. Обычно под распределением Больцмана понимают последнюю формулу.

6. Явления переноса

Физической кинетикой называется наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия. При изучении физической кинетики широко используются методы термодинамики, статистической физики и молекулярно-кинетической теории. Из многочисленных проявлений физической кинетики рассмотрим теплопроводность, диффузию и внутреннее трение.

При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. При этом в системе происходят процессы, связанные с переносом какой-либо физической величины: массы, заряда, энергии, импульса и пр. Отметим, что явления переноса обычно представляют собой необратимые процессы.
Потоком физической величины называется количество этой величины, переносимое в единицу времени через заданную поверхность. Примеры: поток жидкости, поток света, поток тепла,… Для простоты будем рассматривать поток через плоскость перпендикулярную оси х.
. Теплопроводность. Известно, что тепло передается от более нагретых участков к менее нагретым. Количественно процесс теплопроводности описывается законом Фурье: тепловой поток через площадку S пропорционален градиенту температуры


,

где - коэффициент теплопроводности. Это эмпирическое уравнение, полученное Фурье. Минус указывает на то, что тепло передается от более нагретых частей к менее нагретым. Используя аппарат молекулярно-кинетической теории, можно показать, что для идеальных газов коэффициент λ определяется формулой

,
где - удельная теплоемкость при постоянном объеме, - средняя скорость теплового движения молекул, - средняя длина свободного пробега молекулы.
Удельной теплоемкостью при постоянном объеме называется количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1ºК при постоянном объеме.
Средней длиной свободного пробега молекулы называется средний путь, который проходит молекула между двумя последовательными столкновениями.
При теплопроводности происходит перенос энергии от более нагретых областей к менее нагретым.
. Диффузия. Диффузией называется самопроизвольное выравнивание концентраций в смеси нескольких различных веществ, вызванное тепловым движением молекул. Если в сосуде, разделенном перегородкой, содержатся различные газы, то после удаления перегородки газы перемешаются.



Рис.

Диффузия описывается законом Фика: поток массы пропорционален градиенту плотности вещества

,
где D - коэффициент диффузии. Минус указывает на то, что перенос происходит от областей с большей к областям с меньшей концентрацией. Можно показать, что D определяется формулой


.

Отметим, что при диффузии происходит перенос массы.

. Внутреннее трение (вязкость). Рассмотрим две параллельные плоскости, между которыми находится газ или жидкость. Пусть одна плоскость неподвижна, а вторая движется со скоростью V.



Рис.

Между соседними слоями жидкости возникнут силы внутреннего трения, которые описываются законом Ньютона: сила внутреннего трения между двумя слоями газа пропорциональна градиенту скорости

,

где η - коэффициент вязкости. При внутреннем трении возникает поток импульса между слоями жидкости или газа, т.е. здесь передается импульс. Можно показать, что коэффициент вязкости определяется формулой

.

Нетрудно проверить, что коэффициенты переноса связаны соотношениями

.

Связь между коэффициентами переноса указывает на то, явления переноса имеют общую природу - тепловое движение молекул.