При изучении вещества приходится иметь дело с системами, содержащими огромное число элементов. В 1 см

4. Распределение Максвелла

Молекулы газа имеют различные направления и скорости. Молекулы взаимодействуют между собой и со стенками сосуда, поэтому в системе устанавливается равновесное распределение молекул по скоростям и направлениям. Рассмотрим такое равновесное распределение. Из соображений симметрии, учитывая отсутствие в пространстве выделенных направлений, ясно, что в равновесном состоянии все молекулы распределены по направлениям равномерно. При каждой температуре существует свое равновесное распределение молекул по скоростям, которое описывается формулой Максвелла.

Функцией распределения молекул по скоростям называется функция, которая определяет относительное число молекул, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv:


.

Можно показать, что функция f(v) определяется выражением:

.

Эта функция называется распределением Максвелла. График этой функции показан на рисунке

Рис.
Из приведенного графика видно, что существует наиболее вероятное значение скорости молекулы. Для его определения надо приравнять нулю производную этой функции. Опуская выкладки, запишем результат


.

(получить этот результат самостоятельно).

Используя выражения для функции распределения можно получить среднее значение скорости и другие характеристики движения.
Найдем выражение для функции распределения молекул по энергиям. Выражая энергию через скорость


,

запишем

.

Выразим f(v) и dv через ε и dε. После преобразований, учитывая условие

,

получим
.

Эта функция описывает распределение молекул по энергиям теплового движения. Среднее значение энергии одной молекулы (математическое ожидание случайной величины ε) определяется формулой

.

Для интерпретации этой формулы введем следующее понятие.

Числом степеней свободы молекулы называется число независимых переменных, которые полностью определяют положение молекулы в пространстве. Рассмотрим простейшие случаи:

1. 
   одноатомная молекула рассматривается как материальная точка и имеет
   

три пространственные координаты (x,y,z) (три поступательных координаты).

2. 
   двухатомная молекула может быть представлена в виде
   

и имеет три поступательных и две вращательных степени свободы.

3. 
   трехатомная и более сложные молекулы имеют три поступательных и три вращательных степени свободы
   

В более сложных случаях следует учитывать наличие колебательных степеней свободы

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы: Для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT.

Из закона Больцмана следует, что средняя энергия молекулы определяется формулой


,

где i - число степеней свободы молекулы.

Из закона Больцмана вытекает физический смысл температуры: температура - это величина, пропорциональная средней энергии, приходящейся на одну степень свободы. Учитывая наличие различных степеней свободы, можно определить среднюю энергию различных молекул.
Энергию одного моля можем записать в виде
,

где R=kN_A - термодинамическая постоянная. Для ν молей получим

.

Изменение энергии идеального газа при изменении температуры

.

При , , получим

.

Отсюда следует физический смысл газовой постоянной: Величина равна изменению внутренней энергии одного моля идеального газа, приходящемуся на одну степень свободы при изменении температуры на 2К.