Приложения интегрального исчисления в экономике

Пример 4. Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , .
Решение:
Используя формулу, отражающую модель роста в условиях конкурентного рынка
,
получим

Решаем: разделим переменные:

интегрируя, получим:

.
Учитывая, что , получаем, что .
Таким образом .


Пример 5. Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .
Решение:
Известно, что функция дохода равна
,
где – сумма инвестиций, – величина потребления.
А также имеет место дифференциальное уравнение
,
где – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:
, или
Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде .
Тогда , подставим в уравнение
1) 2)



Общее решение или
Используя начальные условия , найдём : или .
Итак, функция дохода имеет вид .

• 
  Начиная с середины 1950^-х годов в макроэкономической теории
  

стали пользоваться неоклассическими моделями экономического роста, в частности моделями Солоу, в которых коэффициент капиталовооружённости (стоимость основного капитала, приходящаяся на одного занятого в производстве) есть ведичина переменная, меняется в зависимости от состояния экономической коньюнктуры.
Основное уравнение модели Солоу есть частное дифференциальное уравнение первого порядка
,
где q – средняя производительность труда ( или стоимость дохода , произведённого одним работающим )
n – годовой темп прироста населения ( условно 0<n<0,03)
S_y – функция сбережения, – инвестиции.
Данное уравнение показывает, как должна изменяться во времени капиталовооружённость труда , чтобы существующий равновесный рост обеспечивал полное использование производственных мощностей, и в том числе – полную занятость.
Именно при условии будем иметь место равновесный рост с постоянной капиталовооружённостью и постоянной производительностью труда.
Эту закономерность легко пояснить на графике.























0

Если левая часть выражения больше правой , то сбережения превышают инвестиции, то есть приращение капитала, необходимого для поддержания соответствующего уровня капиталовооружённости . То есть в этом случае выполняется неравенство , что требует повышения капиталоёмкости (от до ).

Напротив, если , то для достижения равновесия экономики и полной занятости следует понизить капиталовооруженность труда , что автоматически достигается рыночными изменениями ценовых параметров.
На рисунке линия – прямая, так как условно предполагается, что прирост населения постоянен, линия – выпуклая.