Приложения интегрального исчисления в экономике

Пример 43.
Найти предельный и средний доход на единицу продукции , если функция спроса равна .
Решение.
Суммарный доход от реализованной продукции в количестве равен или . Тогда, средний доход на единицу продукции ; предельный доход (дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции) равен


Задача 2.
Известна функция затрат производства (у.е.) найти предельные затраты, если объем выпускаемой продукции равен 20 ед.
Решение. Предельные затраты производства равны производной: ; при заданном объеме ед., найдем (у.е.).
Предельные затраты на производство дополнительной единицы продукции при заданном объеме выпускаемой продукции 20 ед. будут равны 18 у.е.

Задача 3.

Количество произведенной продукции за рабочее время , , задано функцией: .
Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через два часа после начала работы и за час до ее окончания.
Решение.
Производительность труда в момент равна производной . Скорость изменения производительности равна второй производной . Темп изменения производительности равен . Найдем их значения в заданный момент времени при и
; ;
; ; .
Таким образом, к концу рабочего дня производительность труда снижается, и снижается скорость и темп ее изменения .

Экономический смысл производной второго порядка.

Если - функция выпуска продукции, она выражает зависимость объема производства от наличия или потребления ресурса (частный вид производственной функции).
Производная есть предельная производительность ресурса, она характеризует увеличение или уменьшение выпуска продукции, вызванное увеличением затрат данного ресурса есть количество работников в данный момент времени, то производная выражает добавочную продукцию, производимую новым работником за единицу времени.
Производную второго порядка , равную скорости изменения предельной производительности, называют темпом изменения функции .
Очевидно, что при положительном темпом возрастает скорость изменения предельной производительности при увеличении ; при отрицательном темпе увеличения приводит к уменьшению скорости изменения функции.

2.4.2.3. Эластичность функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при , обозначают или .
Пример 44. Найти эластичность себестоимости, если известна функциональная зависимость себестоимости единицы продукции (у) от выпуска продукции (х) .
Решение.
Найдем эластичность по формуле , получим или . Если выпуск продукции равен у.е., то эластичность равна , следовательно, при выпуске продукции на 300 у.е., увеличение его на 1% приведет к увеличению себестоимости на 9%.
Если выпуск продукции равен 400 у.е., то эластичность , тогда увеличение выпуска продукции на 1% приведет к снижению себестоимости на 6%.

Пример 45.

Найти эластичность функции спроса при равновесной цене, если функция …

Решение
Найдем равновесную цену , решив уравнение : ; ; ; . При равновесной цене 20 у.е. спрос равен . Эластичность функции спроса ; при эластичность .

Так как , то при увеличении цены на 1%, от 20 у.е. до 20,2 у.е. спрос уменьшится на 0,8%, от 16 до 15,872, т.к. .

Например неэлементарная функция рассматривается в следующей задаче.

Пример 46. Найти и построить график функции подоходного налога , если доход , то составляет 8% от ; если доход , то налог взимается по ставке 20% от дохода, превышающего , если доход , то ставка 40%.
Решение.
Найдем аналитическое выражение для функции , по условию задачи функцию можно описать тремя различными формулами:
или .
Построим график функции :