Приложения интегрального исчисления в экономике

Приложения дифференциальных уравнений в экономике.
Рассмотрим некоторые задачи макроэкономической динамики.

• 
  Пусть y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к
  

моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит .
Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, имеет место дифференциальное уравнение

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим
,
где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) – постоянная величина, 0.
Подставляя последнее выражение для I(t) в дифференциальное уравнение, получим , обозначим k= mp, тогда .

Это дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решим его:

При начальных условиях решение можно записать в виде .
Замечание. Уравнение описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

• 
  На практике условие насыщаемости рынка может быть принято
  

только для достаточно узкого времени интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены реализованной продукции от ее объема является убывающей функцией p = p(y). Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.
Так как все сомножители в правой части уравнения положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Дифференцируя уравнение получим

Так как эластичность спроса определяется формулой , получим

Условие равносильно равенству .
Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция выпукла вниз; в случае если спрос эластичен, то функция выпукла вверх.