Приложения интегрального исчисления в экономике

Приложения в экономике
Функции в экономике
Экономические процессы описываются как функциями одной, так и нескольких переменных. Наиболее часто используются производственные функции, функции …, полезности (предпочтений), издержек, спроса, предложения, потребления и другие.

• 
  Производственная функция выдает результат производственной деятельности от факторов, пусть - величина общественного продукта
  

- затраты труда
- объем производственных фондов, тогда функция двух переменных – функция Кобба - Дугласа

• 
  Функция полезности выражает полезность от приобретенных товаров ,
  

например, логарифмическая функция полезности или

• 
  Функции спроса и предложения выражают зависимость объема спроса или предложения на отдельные товары от таких факторов, как цена, доход и другие.
  

• 
  Часто зависимость спроса и различные товары от дохода описываются функции Торнквиста:
  
• 
  Зависимость спроса или предложения от цены описывается, например, линейными функциями:
  

спроса
или
предложения .
Одной из главных задач рынка является установление равновесной цены (price) - , то есть такой цены, при которой спрос (demand) равен предложению (supply)

Предположим, что функции , непрерывны, тогда их разность также непрерывна функция, причем имеет разные знаки - спрос превышает предложение, если цена - мала; , если цена велика, то по свойству непрерывной функции (теорема Больцано – Коши), обязательно существует такое значение , при котором , то есть .

• 
  Функции прибыли и затрат (издержек). Пусть - количество продукта; которая реализуется по цене , в этом случае - полный доход; - функция затрат выражает зависимость общих расходов на производство единиц продукции; тогда разность между полным доходом и общими затратами есть прибыль от реализации единиц продукции: . Графически функцию прибыли можно изобразить следующим образом
  

Значение функции прибыли на отрезке отрицательна, здесь затраты превышают доход; когда выпуск продукции становится больше некоторого количества , то прибыль начинает расти, то есть .
Задача.
Найти равновесную цену, если известны функции спроса и предложения . Найти выручку при равновесной цене , а также при ценах .
Решение.
Очевидно, что ,
,
,
тогда для функции имеем: ,
для функции :
Точку равновесия найдем из условия , то есть или ; откуда - равновесная цена; при этом количество товара

При равновесной цене выручка равна . При получим . При получим .

Задача.
Найти и построить функцию прибыли, если фирма реализует единиц продукцию по цене за единицу, при известных постоянных затратах, равных 12 у.е. и переменных затратах на единицу продукции равных у.е.
Решение.
Функция прибыли равна , где функция полного дохода равна произведению цены на количество продукции : ; - функция затрат (издержек) равна сумма постоянных и переменных затрат, на единиц продукции: или . Итак, функция прибыли:
.
Построим графики функций , ,

Максимальная прибыль достигается при , , при этом объеме продукта доход равен (у.е.), и затраты (у.е.).