Процессы и аппараты химической технологии

Тема 4 Уравнение неразрывности (сплошности) потока
Уравнение неразрывности потока или материальный баланс потока. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли, ее физический и энергетический смыслы.
Материальный баланс потока (уравнение неразрывности потока)
Допустим, что в сечении /—/ трубы все частицы имеют среднюю скорость w, тогда за единицу времени они пройдут путь, равный w, и переместятся в сечение //—//.
Если скорости частиц жидкости не изменяются во времени, ее движение считается установившимся. При установившемся движении в каждом сечении потока постоянны не только скорость, но и расход, температура, давление и плотность жидкости. Вместе с тем при установившемся движении скорости потока могут изменяться в пространстве, при переходе жидкости от одного сечения к другому. Рассмотрим установившееся движение жидкости, ограниченной стенками любой формы, например движение в трубе переменного

Движущаяся жидкость сплошь заполняет трубу, в которой, таким образом, нет пустот и разрывов потока. При переходе от сечения S₁ к сечению S₂ скорость жидкости будет изменяться, но по закону сохранения вещества количество жидкости, поступающей в единицу времени через сечение S₁ будет равно количеству ее, протекающему через сечение S₂, т.е. расход жидкости останется постоянным. В том случае, если эти количества не были бы равны(например, ели поступающее через сечение S₁ количество жидкости превышало бы количество, проходящее через сечение S₂), жидкость накапливалась бы в трубе между сечениями S₁ и S₂ и здесь происходило бы возрастание давление и плотности, что при установившемся течении невозможно. нтегрирование уравнений движения. Уравнение Бернулли.

Полагая движение установившимся, проинтегрируем уравнения движения вдоль линии тока. При установившемся движении частицы жидкости движутся по линиям тока, которые сов­падают с траекториями и за время dt проходят путь dl или в проекциях на оси координат:
dx=u_xdt, dy=u_ydt, dz=u_zdt.
Умножим каждую строчку системы соответственно на dx, dy, dz и получим:
.
Сложим полученные уравнения системы:
u_xdu_x+ u_ydu_y + u_zdu_z = ( dx+ dy+ dz)-gdz;
помня, что члены уравнения с давлением образуют полный дифференциал давления, то есть dp= dx+ dy+ dz. А в левой части u_xdu_x= . Получаем:
+  + = dp-gdz;
Причем,  + + ,то  = dp-gdz.