Проективная геометрия

---

Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не 
меняющихся при 
проективных преобразованиях
, например при проектировании. 
Такие 
свойства 
называются 
проективными. 
Параллельность 
и 
перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов — непроективные 
свойства, т.к. пересекающиеся прямые / и m  могут спроектироваться в 
параллельные 
/' 
и m' (рис. 
1), равные 
отрезки AB и BC 
— в 
неравные A'B' и B'C' (рис. 2), и т.д. Проекция любой линии второго порядка есть 
снова линия второго порядка, так что принадлежность классу линий второго 
порядка — проективное свойство. Проективным является и 
гармоническое 
расположение
 4 точек на прямой. 
При проектировании точек одной плоскости на другую не каждая точка 
плоскости П имеет образ на плоскости П' и не каждая точка П' имеет 
прообраз П (см. 
Отображение
). Это обстоятельство привело к необходимости 
дополнения 
евклидовой 
плоскости 
т. 
н. 
бесконечно 
удалёнными 
(несобственными) точками (см. 
Бесконечно удалённые элементы
). Такое 
присоединение приводит к образованию нового геометрического объекта — 
проективной плоскости. 
Присоединяя к прямой несобственную точку, получают проективную прямую. 
К непараллельным прямым присоединяются разные точки, к параллельным — 
одна и та же. Дополняя плоскость несобственной прямой, считают, что на ней 
лежат несобственные точки всех прямых плоскости. Евклидова плоскость, 
дополненная несобственными элементами, называется (действительной) 
проективной плоскостью. На ней через любые две различные точки проходит и 
притом только одна прямая, и любые две различные прямые имеют и притом 
только одну общую точку. Дополнение евклидовой плоскости до проективной 
приводит к тому, что проектирование становится взаимно однозначным 
преобразованием. 
Аналогичным образом из евклидова пространства получается 
проективное 
пространство
. 
Существуют различные способы аксиоматического задания действительной 
проективной плоскости. Наиболее распространённая система аксиом получается 
видоизменением 
системы 
аксиом, 
предложенной 
Д. 
Гильбертом
 для 
обоснования плоской евклидовой геометрии (см. 
Геометрия
). Проективная 
плоскость рассматривается как совокупность элементов двух родов: точек и 
прямых, между которыми устанавливаются отношения принадлежности и 
порядка, характеризуемые соответствующими аксиомами. Первая группа аксиом 
отличается от соответствующей группы аксиом евклидовой геометрии тем, что 
каждые две прямые на плоскости имеют общую точку, и что на прямой имеется 
по крайней мере три различные точки. В качестве основного отношения порядка 
принимается разделённость двух пар точек, лежащих на одной прямой, 
описываемое второй группой аксиом. На рис. 3 пара точек С и D разделяет пару 
точек А и В, а пара А и С не разделяет пару В и D. Иногда к этим аксиомам 
добавляются 
непрерывности аксиомы
. 

---

Существуют интерпретации проективной плоскости, не привлекающие 
бесконечно 
удалённых 
элементов. 
Например. 
пусть R
3
 — евклидово 
пространство и О — точка в нём. Обозначим через П множество прямых, 
проходящих через О; точкой в П назовем евклидову прямую, проходящую 
через О, а прямой в П — множество евклидовых прямых, проходящих через О и 
лежащих в одной плоскости. Тогда П удовлетворяет аксиомам проективной 
плоскости.