Проективная геометрия

тело
 k. Построение осуществляется с помощью полных четырёхвершинников 
— плоских фигур, составленных четырьмя точками, из которых никакие три не 
лежат на одной прямой (рис. 5), и шестью прямыми, соединяющими попарно эти 
точки; такая конфигурация позволяет определить чисто проективно понятие 
гармонической четвёрки точек. Двойственным образом с использованием 
полных четырехсторонников устанавливаются операции сложения и умножения 
в пучке прямых. 
Свойства проективной прямой, как алгебраической системы, определяются, с 
одной стороны, геометрическими свойствами проективной плоскости, в которой 
она расположена. Так, например, коммутативность тела равносильна 
выполнению т. н. аксиомы Паппа: если / и /' — две различные 
прямые, А, В, С и A', B', С' 
— тройки 
различных 
точек 
прямых 
/ 
и l' соответственно, то точки пересечения прямых AB' и A'B, AC' и A'C, 
BC' и B'C лежат на одной прямой; тело k имеет отличную от двух характеристику 
тогда и только тогда, когда диагональные точки Р, О, R полного 
четырёхвершинника ABCD не лежат на одной прямой [Р, О, R определяются как 
точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC соответственно (рис. 5)]. 
С др. стороны, в зависимости от выбора исходного тела k определяются 
различные 
проективные 
плоскости П
k
как 
совокупности 
классов 
пропорциональных троек элементов тела k [за исключением тройки (0, 0, 0)]. 
Такой аналитический подход наряду с синтетическим с успехом применяется для 
изучения проективных свойств кривых и поверхностей. Аналогичные построения 
можно провести и для проективного пространства. 
Линией второго порядка на проективной плоскости называют объект, 
определяемый с точностью до множителя пропорциональности классом 
однородных уравнений второй степени: 
a
11
(x
1
)
2 
+ a
22
(x
2
)
2
 + a
33
 (x
3
)
2
 + 2a
12
 x
1
x
2
 + 2a
23
 x
2
x
3
+ 2a
31
 x
3
x
1
= 0. 
Всякая нераспадающаяся линия второго порядка на действительной 
проективной плоскости (овальная линия) есть либо эллипс, либо гипербола, 
дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная 
несобственной точкой её диаметров. Распадающаяся линия второго порядка 
состоит из двух прямых (различных или совпадающих) или одной точки. 
Наконец, возможна нераспадающаяся линия второго порядка, не содержащая 
действительных точек. Этим исчерпывается проективная классификация всех 
линий второго порядка. Фигурой, двойственной линии второго порядка, является 

---

пучок прямых второго класса — объект, определяемый классом 
пропорциональных однородных уравнений второй степени в координатах 
(u
1
, u
2
, u
3
). 
Огибающая
 невырожденного пучка прямых есть линия второго 
порядка. 
Если на проективной плоскости заданы пять точек, из которых никакие четыре 
не лежат на одной прямой, то существует и притом только одна линия второго 
порядка, проходящая через эти точки. Точки пересечения противоположных 
сторон шестиугольника, вписанного в линию второго порядка, лежат на одной 
прямой (теорема Паскаля) (рис. 6). В случае распадающейся линии второго 
порядка эта теорема сводится к утверждению, формулируемому аксиомой Паппа. 
Двойственной теореме Паскаля является теорема Брианшона: диагонали, 
соединяющие противоположные стороны шестисторонника, описанного около 
овальной линии второго порядка, проходят через одну точку (рис. 7). См. 
также