Чаще всего в геометрических задачах встречается конфигурация, в которой окружность проходит только через две вершины треугольника, при этом вторично пересекая две его стороны. В такой конструкции появляются два подобных треугольника ABC и AML, у которых соответственные стороны ML и BC – не параллельны.
Рассмотрим некоторые примеры, в которых появляется такая конструкция.
Пример 1. Окружность, проходящая через две вершины и основания двух высот треугольника (В этом случае сторона AC будет диаметром окружности).
![](data:image/png;base64,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) В этой конфигурации коэффициент подобия треугольников равен косинусу угла при третьей вершине: .
У![](data:image/png;base64,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) пражнение 21. Докажите сформулированное выше утверждение. (Указание: выразите отрезки AM и AL через стороны треугольника и угол A.)
Взглянем на эту же конструкцию с другой стороны.
Пример 2. Пусть одна из сторон треугольника (например, BC) является диаметром окружности, а L и M точки пересечения окружности с двумя другими сторонами. Тогда из этих точек диаметр окружности виден под прямым углом.
Нетрудно увидеть, что отрезки BM и CL являются высотами треугольника.
Упражнение 22. Окружность, диаметром которой служит одна из сторон треугольника, пересекает другую сторону в точке, являющейся ее серединой. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.
Do'stlaringiz bilan baham: |