Программа и учебные материалы элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов «конструкция «треугольник-окружность» иее применение в решении задач геометрии»

Окружность, проходящая через две вершины треугольника

Чаще всего в геометрических задачах встречается конфигурация, в которой окружность проходит только через две вершины треугольника, при этом вторично пересекая две его стороны. В такой конструкции появляются два подобных треугольника ABC и AML, у которых соответственные стороны ML и BC – не параллельны.

Рассмотрим некоторые примеры, в которых появляется такая конструкция.

Пример 1. Окружность, проходящая через две вершины и основания двух высот треугольника (В этом случае сторона AC будет диаметром окружности).


В этой конфигурации коэффициент подобия треугольников равен косинусу угла при третьей вершине: .

У
пражнение 21. Докажите сформулированное выше утверждение. (Указание: выразите отрезки AM и AL через стороны треугольника и угол A.)
Взглянем на эту же конструкцию с другой стороны.

Пример 2. Пусть одна из сторон треугольника (например, BC) является диаметром окружности, а L и M точки пересечения окружности с двумя другими сторонами. Тогда из этих точек диаметр окружности виден под прямым углом.

Нетрудно увидеть, что отрезки BM и CL являются высотами треугольника.

Упражнение 22. Окружность, диаметром которой служит одна из сторон треугольника, пересекает другую сторону в точке, являющейся ее серединой. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.