Программа вступительного экзамена по специальности

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

2. Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям.
3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе.
4. Центр линии второго порядка. Диаметр линии второго порядка.
5. Сопряженные направления. Главные направления линии второго порядка.
6. Упрощение общего уравнения линий второго порядка ([3],[11]).
7. Канонические уравнения поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
8. Конус и конические сечения. Цилиндры. Параболоиды.
9. Касательная плоскость и диаметральная плоскость поверхности второго порядка. 10. Плоскость симметрии поверхности второго порядка ([3],[11]).


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая.

2. Регулярная кривая. Способы задания кривой. Векторная функция скалярного аргумента.
3. Касательная кривой и нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость кривой.
4. Длина дуги кривой. Естественная параметризация.
5. Кривизна кривой. Кручение кривой.
6. Формулы Френе. Натуральные уравнение кривой.
7. Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность.
8. Регулярная поверхность. Способы задания поверхности.
9. Касательная плоскость поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.
10. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности.
11. Площадь поверхности. Гладкое отображение поверхности.
12. Изометричные поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.
13. Индикатриса Дюпена. Теорема Менье.
14. Формула Эйлера. Главные направления. Главные кривизны.
15. Средняя и гауссова кривизны. Соприкасающийся параболоид.
16. Классификация точек поверхности. Основные теоремы теории поверхностей.
17. Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхностей.
18. Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Параллельные перенос векторов. 19. Кратчайшие на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.
20. Поверхности постоянной гауссовой кривизны.