Программа вступительного экзамена по специальности

ПРОГРАММА
вступительного экзамена по специальности
01.01.04 – «геометрия и топология»


ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

1. 
   Понятие множества. Операции над множествами.
   
2. 
   Отображения. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
   
3. 
   Упорядоченные множества. Трансфинитные числа. Трансфинитная индукция.
   
4. 
   Кольцо множеств и -алгебра.
   
5. 
   Понятие метрического пространства. Сходимость. Открытые и замкнутые множества.
   
6. 
   Полные метрические множества. Принцип сжимающих отображений и его применения. Топологические пространства.
   
7. 
   Определение и примеры топологических пространств. База топологии.
   
8. 
   Аксиомы счетности. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.
   
9. 
   Связные и линейно связные пространства.
   
10. 
    Аксиомы отделимости. Теорема Бера.
    
11. 
    Понятие компактности. Компактные множества и компактные пространства. Непрерывные отображения компактных пространств.
    
12. 
    Важнейшие свойства компактности: достижение максимума и минимума непрерывной функции на компакте, сохранение компактности при непрерывных отображениях.
    
13. 
    Полнота. Полная ограниченность. Компактность и полная ограниченность. Теорема Тихонова.
    
14. 
    Теорема Арцела. Теорема Пеано. Непрерывные отображения метрических компактов. Поточечная сходимость.
    
15. 
    Компактно-открытая топология. Равномерная сходимость на компактных множествах.
    

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

1. Гомотопия путей. Фундаментальная группа и её топологическая инвариантность.

2. Фундаментальная группа окружности и симплициального комплекса.
3. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии.
4. Свободные группы и свободные произведения групп. Группа монодромии накрытия.
5. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа ([5],[12]).
6. Понятие многообразия. Гладкие функции и отображения.
7. Касательные векторы, касательное пространство к многообразию.
8. Касательный вектор как дифференцирование. Векторные поля на многообразии.
9. Аффинная связность на многообразии. Параллельный перенос и геодезические линии.
10. Многообразия Штифеля и Грассмана ([2],[3],[6],[7]).