Projenin Adı

 

Projenin Adı:

 

 Matrisler ile Diskriminant 

Analizi Yaparak Sayı Tanımlama

 

 

Giriş ve Projenin Amacı: 

 

Bu projenin 

amacı

; matrisler ile diskriminant analizi yaparak, b

ir düzlem üzerine

 el ile 

yazılan

  bir 

sayının

 

oluşturduğumuz  ayrıştırma  gru

p

larının  hangisine  ait  olduğunu 

belirleyebilmek  ve  bunu  dij

ital  ortama  aktararak  elle  yazılan  bir  sayının  d

ijital  olarak 

algılanabilmesini 

sağlamaktır.

   

 

 

Regresyon  analizinde  verilerin  yapısındaki  grup  sayısı  bilinmekte 

ve  bu  verilerden 

faydalanarak  bir  ayrımsama 

modeli  elde  edilmektedir.  Kurulan  bu  model  ile  veri 

kümesinde  yeni  alınan  gözlemlerin  gruplara  atanması  yapılmaktadır.  Diskriminant 

analizi de bu ayrımı yapmak için kullanılan yöntemlerden biridir. 

Diskriminant analizinin 

amacını

 

iki grupta toplamak mümkündür

:  

1)

Diskriminant  fonksiyonları  saptayıp  bu  fonksiyonlar  aracılığıyla  gruplar  arası 

ayırıma en fazla etki eden ayırıcı

 

değişkenleri belirlemek,

 

2)  Hangi  gruptan  geldiği  bilinmeyen  bir  birimin  hangi  gruba  dahil  edileceğini 

belirlemektir 

(Ünsal,2001)

.  

 

Bu bilgiler ışığında d

iskriminant analizi, 

gözlemleri en az hata ile ait oldukları kitlelere 

ayırmak  için  yapılan  işlemler  topluluğu  olarak  düşünülebilir.  Bu  yöntem

, 

işletme

 

(Aydın,2007)

,  ekonomi 

(Ünsal,2001)

 

ve  mühendislik

 

(Tekin,2010  ve  Akbaş,2010)

  gibi 

pek çok alanda ayrıştırma grupları oluşturmak için

 

kullanılmaktadır.

 

      

Biz 

de bu çalışmada

, 

her bir rakamı ayrı bir grup olarak düşündük

. H

er bir rakam için 

ayrı  ayrıştırma  matrisleri  oluşturarak

, 

sonradan  girilen  bir  rakamın  hangi  gruba  ait 

olduğunu tahmin etmeye çalıştık.

 

 

 

Ana Bölüm

: 

  

Bu  çalışmada

, 

bütün  rakamlara  ait  gruplar  oluşturmak  yerine  sadece  iki  rakam  için 

tahmin  matrisleri  oluşturmanın  yeterli  olacağını  düşündük.  Çünkü  bu  iki  rakam

, 

oluşturduğumuz

  matris  gruplar

ına  ait  çıkıyorsa  aynı  işlemi  diğer  rakamlar  için

  de 

uygulayabiliriz.  Bu  maksatla  2  ve  5  rakamları  için  ait  oldukları  matris  gruplarını 

oluşturmaya çalıştık. Burada amacımız

, 

bir düzlem üzerine yazılan 2 ve 5 rakamlarının

 

oluşturduğumuz  gruba  ait  olup  olmadığını  bulmak.  Bunu  saptamak  için  kullanacak 

olduğumuz formülizasyon aşağıdaki gibidir:

 

 

Çok  değişkenli  regresyon  modelinde  bir  y  bağımlı  değişkeni,  n

 

adet  bağımsız 

değişkenin, x

1

, x

2

, ….. ,x

n

 

doğrusal bir fonksiyonu olarak if

ade edilmektedir. 

Bu modele bir sabit terim eklenerek fonksiyon, 

y=β

0

+ β

1

x

1

+ β

2

x

2

+…..+ β

k

x

k

+ε

 

biçiminde ifade edilir.

 

n adet gözlem mevcut ise 

 

y

1

=β

0

+ β

1

x

11

+ β

2

x

12

+…..+ β

1

x

1k

+ε

1

 

y

2

=β

0

+ β

1

x

21

+ β

2

x

22

+…..+ β

1

x

2k

+ε

2 

……………………………………………………………..

 

y

i

=β

0

+ β

1

x

i1

+ β

2

x

i2 

+……+ β

1

x

ik

+ε

i

 

……………………………………...

 

y

n

=β

0

+ β

1

x

n1

+ β

2

x

n2

+…..+ β

1

x

nk

+ε

n 

 

şeklindedir.

 

 

n  adet  denklem,   

matris  ve  vektörler  formunda  açık  olarak  aşağıdaki  gibi  ifade 

edilirler. 

 

 

 

Eşitlik daha kısa olarak 

Y

=Xβ+ε

 

biçiminde yazılabilir. 

 

Bağımlı değişken y,nx1 boyutlu bir sütun vektörüdür. 

 

Hata terimleri ε, nx1 boyutlu bir sütun vektörüdür. 

 

Parametreler β, (k+1)x1 boyutlu bir sütun vektörüdür. 

 

Bağımsız  değişken  X,  nxp  boyutludur.  Bu  matrisin  birinci  sütunu  bir  sayılarından 

oluşmaktadır.

 

Parametre tahmin vektörü β 

=(X

T

X)

-1

X

T 

Y dir. 

Ŷ

 

=Xβ

 

ve hata miktarı 

e=Y-

Xβ

 

şeklinde hesaplanır

 

(Şehirlioğlu,2008)

. 

 

Şimdi  bu  formülizasyonu  nasıl  kullandığımızı  ve  ifadelerin  ne  anlama  geldiğini 

açıklayalım.

 

Her  bir 

rakamın  ait  olduğu  grup  için

 

oluşturduğumuz  matris

,  X  matrisidir.  Bu 

matrisi  oluşturmak  için  i

lk 

olarak, 

rakamların  yazıldığı  düzlemi  küçük 

karelere  böldük  ve  üzerinde  matrisleri 

oluşturmamıza  yarayacak  olan  desenleri 

oluşturduk.

 

Çalışmamızda  en  iyi  sonucu 

elde  etmek  için  birçok

 

desen  oluşturduk 

ve 

en  iyi  sonuçları  elde  ettiğimiz  deseni 

bu çalışmada kullandık. 

 

Daha  sonra 

20  farklı  kişiye  düzlem 

üzerine 2 ve 5 yazmasını istedik. Düzlem 

üzerine  yazılan  rakam,  oluşturduğumuz 

desenin üzerinden geçiyor ise o karedeki 

x

i

 

değeri yerine 1, geçmiyor ise 0 yazdık.

 

     

Bu  şekilde  her  bir  kişinin  yazmış  olduğu  rakamlar  matrisimizin  bir  satırını 

oluşturdu.  2  rakamı  için  oluşturduğumuz  matrise 

A

,  5  rakamı  için  oluşturduğumuz 

matrise B matrisi dedik. 

 

 

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  1  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  0  1  0  0  1  1  0  0  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  1    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0    

 

 

B  = 

1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1    

 

 

1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  1  0  0  0  1  1  1  0  1  0    

 

 

 

   1  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  1  0    

 

 

 

   1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  1  0  1  1  0  0  0  1  1  0  0  1  0    

 

 

 

   1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  1  0  0  0  1  1  0  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  1  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  1  0  0  0  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  1  0  0  1  0  1  0  0  0  1  1    

 

 

 

   1  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  1  0  0  1  1  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0    

 

 

 

   1  0  0  1  1  0  1  1  0  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  1  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0    

 

 

A  = 

1  0  1  1  0  1  0  1  0  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0    

 

 

1  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  0  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  1  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  1  1  1  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  0  1  0  0  1  0  0  0  1  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  1  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0    

 

 

 

   1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0  0  1  1  1  1  0  0    

 

 

 

   1  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  1  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0    

 

(20x33) 

(20x33) 

 

        Y=[ 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 ]

T   

    

(20x1 lik sütun matris)

 

 

2  rakamı  için  parametre  tahmin  vektörü  β1=(A

T 

A)

-1

A

T 

Y  dir.  Bu 

hesaplamayı 

yapmak  için 

MATLAB 

programını  kullandık.    (A

T

A)  matrisinin 

tersinir  olabilmesi  için 

determinantının  sıfırdan  farklı

 

olması  gerekir

 

(Halıcıoğlu,1999).  Yapmış  olduğumuz 

testlerde  (A

T

A)  matrisi

nin  determinantı

  genellikle 

sıfır

 

çıktı.  Bu  sorunu,

  (A

T

A)  matrisine 

köşegen değerleri 0,01 olan

 

ve köşegenin altında ve üstünde kalan kısmın sıfır olduğu

 

bir  köşegen  matris  ekleyerek  giderdik.  β1’i

 

hesapladıktan  sonra  başka  bir  kişiye,

 

düzleme 2 rakamını yazdırdık ve X1 matrisini belirledik

. Y

azılan rakamın

, 

2 rakamı için 

oluşturduğumuz  gruba  ait 

ol

up  olmadığını  belirlemek  için

  Y1

=X1x  β1  formülünü 

kullandık. Burada,

 

hata miktarı 

e=Y-Y1 

in sıfıra yakın çıkması yazılan rakamın o gruba 

dahil olduğunu göstermektedir.

 

 

Hata  miktarını

  hesapl

amak  için  m

atlaba  ilk  olarak  A  ve  B  matrisleri  girildi.  Daha 

sonra, 

herhangi  bir  kişinin  düzleme  yazdığı  2  rakamı  için  X1  matrisi  yazıldı.

  Sonucu 

bulmak için matlaba yazdığımız kod aşağıdaki gibidir:

 

 

Y=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; 

Y=Y’ ;

 

Z1=(A’*A);

 

C=eye(33);       (33x

33 lük birim matris)

 

C=C*0.01;        (

Birim matrisin köşegen değerlerini 0.01 yapan kod

) 

Z1=Z1+C; 

β1=inv(Z1)*A’*Y;

 

Y1=X1* β1; 

        

  

5  rakamı  için

 

de  sırasıyla  aynı  işlemler  yapılmıştır.  Fakat  önceki  işlemden  farklı 

olarak, 

grubunu tahmin etmemiz için yazılan

 

matrise X2 denmiştir ve Z2=(B’x

B) olarak 

tanımlanmıştır.  Buradaki

  Y2 

yaklaşık  değerini  bulmak  için  matlaba  yazdığımız  kod  ise

 

aşağıdaki gibidir:

 

 

Y=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; 

Y=Y’ ;

 

Z2=(B’*B);

 

C=eye(33);        

C=C*0.01; 

Z2=Z2+C; 

Β2=inv(Z2)*B’*Y;

 

Y2=X2* β2;

 

 

Farklı  örneklemler  üzerinde  yapmış  olduğumuz  testler  bize  gösterdi  ki;

  2  ve  5 

rakamı  için 

elde  edilen  hata  mikta

rı

 

sıfıra  çok  yakındır

 

ve  oluşturduğumuz 

matris 

grupları

 i

şlevseldir.

 

 

Daha  sonra  a

caba başka bir rakam yazarsak  yine

 

aynı sonucu elde edebilir miyiz 

diye düşündük ve farklı kişilere  düzlem üzerine 3  rakamını yazmalarını istedik. O

rtaya 

çıkan hata miktarının daha önceki değerlere göre daha büyük olduğunu gözlemledik. Bu 

sonuç

 bize, 

kurmuş olduğumuz sistemin çalıştığını gösterdi.

 

 

 

Çizelge 1:

 

Yapılan testler sonucu elde edilen hata (e) değerleri

. 

 

 

 

A matrisi için 

e 

değeri

 

B matrisi için 

e 

değeri

 

 

 

 

2 yazıldığında

 

3 yazıldığında

 

5 yazıldığında

 

3 yazıldığında

 

 

 

1'inci kişi

 

0.071 

0,1618 

0.009 

0.2168 

 

 

2'nci kişi

 

0,0858 

0.2343 

0.0011 

0.2351 

 

 

3'üncü kişi

 

0.007 

0,2505 

0,1216 

0.0663 

 

 

4'üncü kişi

 

0,0198 

0.1682 

0.0316 

0.2909 

 

 

 

 

 

 

Sonuçlar ve Tartışma

: 

 

Bu  çalışma  bize,  düzleme  el  ile  yazılan  bir  rakamın  kodlamalar  yaparak  ayrı  ayrı

 

sınıflandırılabileceğini ve dijital bir şekilde ifade edilebileceğini gösterdi.

 

Bu çalışmayı hazırlarken yapmış olduğumuz testler sonucunda düzlemde oluşturulan 

desenin,  desen  oluştururken  kullanılan  kutucuk  sayısının

, 

sonucu  önemli  ölçüde 

değişti

rdi

ğini tespit ettik. Bu sonuç bize oluşturulan desen ile birlikte daha iyi sonuçlar da 

elde edilebileceğini ve daha iyi bir desenle ve daha fazla sayıda örneklemle daha küçük 

hata miktarlarıyla sonuçlar elde edebileceğimizi gösterdi.

 

 

Matrislerle  diskriminant  ana

lizi  yapma  yöntemi,  bu  çalışmada  istediğimiz 

gruplandırmaları  yapmamızı

 

ve  Ç

izelge  1

’

de 

de  görüldüğü  üzere  iyi  sonuçlar  elde 

etmemizi sağladı. Elde ettiğimiz bu sonuçların bizi başka sonuçlara da ulaştırabileceğini 

gördük. Bunlardan bazıları;

 

1)  Basit  bir  genelleme

yle, bütün rakamlar ve harfler

 

bu şekilde gruplandırılabilir ve 

tahmin edilebilir. 

2) 

Bu  yöntem,  tablet  bilgisayarlarda  ve  akıllı  telefonlarda  bulunan,  elle  yazılan  bir 

yazının

 

dijital ola

rak tanımlanabilmesini sağlayan

 programlara entegre edilebilir. 

3)  B

ankacılık  sektörü  gibi  kurumlarda  dijital  imza  tanımlaması  yapılabilir  ve  kağıt 

üzerine atılan bir imzanın kime ait olduğu saptanabilir.

 

Görüldüğü gibi bu çalışma, birçok şeyi matrislerle ifade ederek gruplandırmamızı ve 

elle  yazılan  herhangi  bir  yazıyı  tahmin  ederek  dijital  olarak  algılanmasını  mümkün 

kılıyor. Burada akla şu soru geliyor. Acaba aynı yöntem, yüz tanıma, parmak izi tanıma 

ve araç plakalarını tanıma gibi alanlarda da kullanılabilir mi?

 

 

 

 

 

 

Yararlanılan 

Kaynaklar:  

AYDIN, Berna (2007),

Tam Zamanında Üretim ve Toplam Kalite Yönetimi Ayrımının 

Diskriminant Analizi ile İncelenmesi

:1-2, 

Uludağ Üniversitesi İİBF Dergisi

 

Cilt XXVI, Sayı 

2. 

HALICIOĞLU, Sait (1999),Grup Gösterimleri 1

,Ankara, 

Ankara Üniversitesi Fen 

Fakültesi Döner Sermaye İşletmesi Yayınları No: 54

 

ŞEHİRLİOĞLU, Kemal (2008),Regresyon Analizi Bölüm 3

-4, 

userweb/kemal.sehirli/dosyalar/regresyon3-

4.pdf >, son erişim 19.01.2014.

 

TEKİN, Erhan ve AKBAŞ,S.Oğuzhan

 

(2010),Çimento Enjeksiyonlarının Kumlara 

Enjekte Edilebilirliğinin Diskriminant Analizi ile İrdelenmesi:625

-633,Gazi 

Üniv.M.M.F.Dergisi

 Cilt 25,No3. 

ÜNSAL,

 

Aydın (2001), Mali Başarılı ve Mali Başarısız Şirketlerin Ayırımını Sağlayan 

Diskriminant Fonksiyon

unun Bulunması,Çukurova Üniversitesi:Enstitü Dergisi

 Cilt 7, 

Sayı7

.