Пусть функция задана приближенно с ошибкой

Замечание 2.5.3. На практике часто функция задана не только приближенно, но и лишь в нескольких отдельных точках исследуемого интервала. В этом случае можно использовать интерполяционные многочлены (Ньютона, Лагранжа, сплайны), а в качестве приближенной производной функции взять производную интерполяционного многочлена. И в этом случае оценка уклонения приближенной производной от точной требует дополнительных предположений о гладкости искомой производной и согласования точности измерений с шагом дискретизации.
Замечание 2.5.4. Еще один способ регуляризации операции дифференцирования — это свертка приближенно заданной функции с гладкой функцией , обладающей свойствами


Например, семейство , можно выбрать в виде

.
Легко проверить, что операторы , определенные по формуле
,
образуют семейство регуляризирующих операторов.
Регуляризирующая последовательность. Иногда при постро¬ении регуляризирующего семейства вместо вещественного параметра выбирают натуральное число п стремящееся к бесконечности. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.5.2 (разложение по собственным функциям). Пусть , Q — сепарабельное гильбертово пространство. Пусть, как и в разделе 2.3, A — линейный вполне непрерывный положительный самосопряженный оператор, — соответствующие последовательности собственных функций и собственных значений оператора А . Точное решение уравнения представимо в виде
(2.5.12)
Поскольку решение существует и принадлежит гильбертову пространству , ряды (2.5.12) и сходятся. Но если для , удовлетворяющего условию , не существует решения уравнения , то ряд расходится (см. критерий Пи-кара (следствие 2.9.1)). Построим последовательность операторов таких, что
(2.5.13)
и покажем, что она обладает всеми свойствами регуляризирующего семейства при . Операторы очевидно, непрерывны, и при всех

Но тогда для точного решения (2.5.12) уравнения и регуляризованного решения справедлива оценка


Следовательно, для любого можно сначала выбрать номер по, такой, чтобы , а затем выбрать из условия . Тогда получаем, что при всех и выполнено неравенство