Пути выявления сложности логарифмических уравнений

Kalit so'zlar: to'plam, tengsizliklar, tenglama, logaritma, echim


Annotatsiya
Bul maqalanıń maqseti 11-klass orta mektepte úyrenilgen logaritmik teńlemelerdi tarqatıp alıwdıń ulıwma usıllarınıń mazmunın ashıp beriw bolıp tabıladı. Mısalı, birinshi hárekettiń maqseti berilgen bólshek teńlemesin ulıwma bólimge keltiriw hám taǵı basqa. Bul sizge túp teńlemediń sheshimin alıwǵa múmkinshilik beredi. Sonday etip, altınshı hárekettiń maqseti algoritmik tárepten sheshiletuǵın teńlemeni aldılarr. Sonday etip, biz orta mekteptiń 11-klasında úyrenilgen logaritmik teńlemelerge sheshim tabıw ushın ulıwmalastırılǵan usıllardıń mazmunın ashıp berdik.
Gilt sózler: jıynaq, teńsizlikler, teńleme, logaritma, sheshim

Понимая задачу как некоторую систему, имеют в виду следующее. Задача как система представляет собой непустое множество элементов, на котором определено (реализвано) заранее данное отношение. Это отношение выполняет роль основного отношения. Действительно, школьная математическая задача содержит некоторое множество отношений, например, в текстовых алгебраических задачах это отношение между данными, между искомыми, между данными и искомыми, т.е. между условием и требованием задачи. В том множестве отношений на основе обобщения всегда можно выделить главное, ведущее отношение, которое принято называть основным. Основное отношение в общем случае выражает функциональную зависимость между величинами, входящими в условие и требование задачи, и реализовано на предметной области задачи.Под предметной областью задачи понимают класс фиксированных объектов (предметов), о которых идет речь в задаче. Для уравнений, неравенств и их систем предметная область состоит из области изменения переменной и чисел, входящих в их структуру. Например для неравенства предметная область состоит из множества действительных чисел и числа 6.

Задача как сложный объект имеет не только внешнее строение (информационную структуру) но и внутреннее устройство (внутреннюю структуру). Информационная структура – это данные искомые и отношения между ними, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи. Она определяет степень проблемности задачи – один из оснавных компонентов трудности.
Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, таких, как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задачи, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако основными компонентами трудности задачи являются степень проблемности и сложности задачи.
Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи. Элементы – это такие минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное отношение.
Внутренняя структура задачи определяет стратегию (ориентировочную основу способа) решения задачи и ее сложность.
Внешнее и внутреннее строение задачи взаимосвязаны, так как стратегия решения связана с базисом и способом решения задачи.
Внешняя (информационная) структура задачи сравнительно легко устанавливается в процессе анализа текста задачи, однако ее внутренняя структура при этом не выявляется.
Чтобы ответить на вопрос о том, каков механизм выявления внутренней структуры задачи, обратимся к аналитико-синтетическому поиску решения логарифмических уравнений.
Простейшими логарифмическими уравнениями и неравенствами являются следующие:
- переменная, где ­ числовые коэффициенты.
Опыт обучения алгебре показывает, что учащиеся не всегда успешно справляются с заданием «решить логарифмическое уравнение». Здесь могут быть разные причины, однако главные из них – это слабые навыки учащихся в выполнении преобразований с логарифмическими выражениями.
Анализ логарифмических уравнений позволяет сформулировать следующие механизмы реализации системного подхода в исследовании этих задач, а именно:
1) механизм выявления внутренней структуры задачи;
2) механизм аналитического поиска решения задачи;
Рассмотрим механизм вявления внутренней структуры задачи для различных видовлогарифмических уравнений.
Задание. Для следующих логарифмических уравнений выполнить поиск решенияуравнения, определив для каждого его сложность.
Задача 1.

Имеем:






Аналитико-синтетический поиск решения данного уравнения содержит шесть шагов. Целью, например, первого действия является приведение данного дробного уравнения к общему знаменателю и.т.д. Выполнив шестое действие, получаем квадратное уравнение, которое мы решать умеем. Оно позволяет получить решение исходного уравнения. Значит, целью шестого действия являтся получение уравнения, которое алгоритмически разрешимо. Поиск решения данного уравнения позволяет установить следующее:
1) действия 1,3 и 5 – тождественные преобразования;
2) действия 2,4 и 6 – равносильные преобразования;
Следовательно, данное уравнение как система имеет структуру, показанную на рисунке 1

Зная структуру уравнения, можно определить его сложность как объективную характеристику, независимую от мнения субъекта. Сложность данного уравнения равна: где
Задача 2.

имеем:






Поиск решения уравнения закончен, т.к. получено алгоритмически разрешимое квадратное уравнение. Действия 1,2,3 и 5– тождественные, действия 4 и 6 – равносильные преобразования, следовательно, структура его будет иметь вид:

Сложность данного уравнения равна: где
Для получения однозначных результатов при выявлении минимальной по сложности внутренней структуры логарифмических уравнений воспользуемся следующим приемом аналитико-синтетического поиска:
1) если необходимо, то во всех членах уравнения перейти к общему основанию;
2) если необходимо, то прологарифмировать обе части уравнения по заданному основанию логарифма;
3) если необхадимо, то в уравнении, используя свойства логарифмов, выполнить соответствующие тождественные преобразования;
4) если среди членов уравнения имеются логарифмы чисел, то выполнить соответствующие вычисления;
5) если все или некотоорые члены уравнения записаны в виде дроби, то привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
6) если необходимо, то открыть скобки с учетом знаков действий перед ними;
7) в полученном уравнении с целыми коэффициентами дальнейщие преобразования можно выполнить по разному, но в соответствии с указагием данным к исходному уравнению;
а) либо, если это возможно, перенести члены уравнения, содержащие неизвестное, в одну сторону (например, в левую), а не содержащие неизвестное – в другую часть уравнения (например, в правую); б) либо, если это возможно, привести подобные члены отдельно в левой и отдельно в правой частях уравнения;
8) в полученном уравнении дальнейшие преобразования необходимо выполнить в следующей последовательности:
а) если предыдущим действием было действие 7а, то в каждой части уравнения привести подобные слагаемые (члены);
б) если предыдущим действием было действие 7б, то перенести члены уравнения, содержащие неизвестные, в одну часть, а не содержащие неизвестное – в другую;
9) преобразование закончить, получив простейшее уравнение вида:
или приведенное к виду: и др.
Итак, мы раскрыли содержание обобщенных приемов поиска решения логарифмических уравнений изучаемых в 11 классе средней школы.
Список литературы
1. Папышев А.А.Теоретико-методологические основы обучения учащихся решению математических задач. – Саранск, 2004. – 387 с.
2. Крупич В.И., О.Б.Епишева. Учить школьников учиться математике: Кн.для учителя. – М.:Просвещение,1990. – 128 с.