Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

Differensial tenglamalarni integrallashda umumlashtirilgan darajali qatorlardan foydalanishning alohida holatlari.

3.1. Bessel tenglamasi.
Bessel tenglamasi matematika va uning qo'llanilishidagi muhim differentsial tenglamalardan biridir. Bessel tenglamasining asosiy funksiyalar tizimini tashkil etuvchi yechimlari elementar funksiyalar emas. Ammo ular koeffitsientlari juda oddiy hisoblangan quvvat seriyalariga aylanadi.
Bessel tenglamasini umumiy shaklda ko'rib chiqing:
Matematik fizikaning ko'pgina masalalari bu tenglamaga keltiriladi.
X ni -x bilan almashtirilganda tenglama o'zgarmasligi sababli, x ning manfiy bo'lmagan qiymatlarini hisobga olish kifoya. Yagona yagona nuqta x = 0 dir. x = 0 ga mos keladigan boshqaruvchi tenglama,. Agar 0 bo'lsa, boshqaruvchi tenglama ikkita ildizga ega: va. Bu tenglamaning yechimini umumlashgan darajalar qatori shaklida topamiz
keyin, y, y "va y" ni dastlabki tenglamada almashtirsak, olamiz
Shunday qilib, bekor qilish, biz bor
Ushbu tenglik bir xil bo'lishi uchun koeffitsientlar tenglamalarni qondirishi kerak
Aniqlovchi tenglama l = n ildiziga mos yechim topilsin. Oxirgi tengliklarda l = n ni almashtirsak, biz noldan boshqa istalgan sonni olishimiz mumkin bo'lganligini ko'ramiz, raqam = 0 va k = 2, 3, ... uchun bizda
Demak, hamma uchun m = 0, 1, 2,….
Shunday qilib, barcha koeffitsientlar topildi, ya'ni (3.1) tenglamaning yechimini ko'rinishda yozish mumkin.
Funktsiya bilan tanishtiramiz
Eylerning gamma funksiyasi deb ataladi. Butun sonlar uchun nima va nima ekanligini hisobga olsak, shuningdek, ixtiyoriy doimiyni tanlasak, u qandaydir tarzda shaklda yoziladi.
birinchi turdagi n-tartibli Bessel funksiyasi deyiladi.
Bessel tenglamasining chiziqli mustaqil ikkinchi xususiy yechimi shaklda qidiriladi
Aniqlash uchun tenglamalar shaklga ega
Biz topamiz deb faraz qilamiz
Gipotezaga ko'ra, n butun son emas, shuning uchun juft sonli barcha koeffitsientlar quyidagi tarzda ifodalanadi:
Shunday qilib,
y 2 (x) ni shaklda ifodalaymiz deb faraz qilamiz
manfiy indeksli birinchi turdagi Bessel funksiyasi deyiladi.
Shunday qilib, agar n butun son bo'lmasa, u holda dastlabki Bessel tenglamasining barcha yechimlari Bessel funktsiyasining chiziqli birikmalari va:.