Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash

2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo`lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.
Haqiqatan ham,

bo`lgani uchun

Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..
, va
bo`lsin.
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun
(4)
bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

bo`lishligini ko`rsatish yetarli.
Bizga ma`lumki uchun
(5)
va ixtiyoriy uchun
(6)
tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy va da

(3) shartga asosan da
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda

shuning uchun (6) dan
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e`tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da


(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko`rsatamiz.
(5) dan


ni tanlash va (3) shartga asosan, da .
Demak, da ya`ni
Teorema isbot bo`ladi.
uchun mavjud bo`lsin va deb olamiz.
3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, da
(9)
sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli bo`ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.
Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o`rinli bo`lishligini ko`rsatamiz.
bo`lganda tengsizligi bajariladi.
Bundan va (9) shartdan
.
Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.