Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash
Download 435.77 Kb.
|
bir xil bo\'lib qomasin
|
n
n0=[1/] deb olsak, n> n0 va istalgan r natural son uchun ekanligi kelib chiqadi. Demak, qator yaqinlashuvchi. Darajali qator tushunchasi. Abel teoremasi. S n p S tengsizlikning o‘rinli Funksional qatorlar orasida, ularning xususiy holi bo‘lgan ushbu 1 2 n n 0 a x n a n 0 yoki, umumiyroq, 0 1 0 2 0 n 0 0 a x a x 2 ... a x n ... (1) a n ( x – n 0 x ) n a a ( x – x ) a ( x – x ) 2 ... a ( x – x ) n ... (2) qatorlar (bunda a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ..., x 0 o‘zgarmas haqiqiy sonlar) matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol o‘ynaydi. Bu yerda funksional qatorning umumiy hadi sifatida un(x)=anxn (yoki un(x)=(x–x0)n), ya’ni x (yoki (x–x0)) darajalari qaralayapti, shu sababli (1) va (2) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi. Agar (2) qatorda x-x0=t deb olinsa, u holda bu qator t o‘zgaruvchiga nisbatan (1) qator ko‘rinishga keladi. Demak, (1) ko‘rinishdagi qatorlarni o‘rganish yetarli. ataladi. ifodadagi a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ... haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffitsientlari deb Darajali qatorlar bir-biridan faqat koeffitsientlari bilangina farq qiladi. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koeffitsientlari berilgan deganini tushunamiz. Ixtiyoriy (1) darajali qator x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Darajali qatorning yaqinlashish sohasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasi muhim rol o‘ynaydi. teorema. (Abel) Agar (1) qator x ning x=x0 (x00) qiymatida yaqinlashuvchi bo‘lsa, x ning |x |<|x0| (3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Natija. Agar (1) qator x ning x=x1 (x10) qiymatida uzoqlashuvchi bo‘lsa, x ning |x|>|x1| tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi, yaqinlashish radiusi. teorema. Agar (1) darajali qator x ning (x0) ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda shunday yagona r>0 son topilib, (1) darajali qator x ning |x|<r tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, |x|>r tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yuqoridagi teoremada topilgan r soni (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, (–r;r) interval darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi. Agar darajali qator faqat x=0 nuqtadagina yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda r=0; agar darajali qator ixtiyoriy x haqiqiy qiymatida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda r=+ deb qabul qilamiz. r chekli bo‘lgan holda x=r nuqtalarda qatorning yaqinlashish masalasini hal qilish uchun darajali qatorni shu nuqtalarda alohida tekshirish kerak. Darajali qatorlarning xossalari. Bizga n 0 a x n a n 0 a x a x 2 ... n a x n ... (1) 1 2 darajali qator berilgan bo‘lsin. xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi r (r>0) bo‘lsa, u holda bu qator [–c;c] (0<c<r) kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. n xossa. Agar n a x n n 0 darajali qatorning yaqinlashish radiusi r>0 bo‘lsa, u holda bu qatorning S(x)= a x n n 0 yig‘indisi (–r;r) intervalda uzluksiz funksiya bo‘ladi. qatorni [a;b] ([a;b](–r;r) ) kesmada hadma-had integrallash mumkin. xossa. Agar n a x n n 0 darajali qatorning yaqinlashish radiusi r>0 bo‘lsa, u holda bu qatorni (–r;r) da hadma-had differensiallash mumkin. Yuqorida xossadan quyidagi natija kelib chiqadi: n Natija. Agar a x n n 0 darajali qatorning yaqinlashish radiusi r>0 bo‘lsa, u holda bu qatorni (–r;r) da istalgan marta hadma-had differensiallash mumkin va hosil bo‘lgan qatorlarning yaqinlashish radiusi r ga teng bo‘ladi. Funksiyani darajali qatorga yoyish. Yoyilmaning yagonaligi. Yuqoridagi ikkinchi va to‘rtinchi xossalardan har qanday 1 2 n n 0 a x n a n 0 a x a x 2 ... a x n ... darajali qator o‘zining yaqinlashish intervali (–r;r) da uzluksiz S(x) funksiyani (darajali qator yig‘indisini) ifodalab, bu funksiya shu oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Endi biror oraliqda istalgan tartibli hosilaga ega bo‘lgan f(x) funksiya uchun yig‘indisi shu funksiyaga teng bo‘ladigan (o‘z yaqinlashish oralig‘ida) darajali qatorni topish masalasi bilan shug‘ullanamiz. Ta’rif. Biror L oraliqda f(x) funksiya berilgan bo‘lsin. Agar L oraliqda yaqinlashuvchi n a ( x a ) n n 0 (bu yerda a, a0, a1, … biror haqiqiy sonlar) qator mavjud bo‘lib, uning yig‘indisi f(x) funksiyaga teng, ya’ni ixtiyoriy xL uchun 0 1 2 n f ( x ) a a ( x a ) a ( x a ) 2 ... a ( x a ) n ... bo‘lsa, u holda f(x) funksiya L oraliqda darajali qatorga yoyilgan deyiladi. (1) Bu holda f(x) funksiya L oraliqda x-a ayirmaning darajalari bo‘yicha darajali qatorga yoyilgan, deb ham aytiladi. (1) tenglikning o‘ng tomonidagi qatorni f(x) funksiyaning x-a ayirma darajalari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi. Odatda, L oraliq sifatida markazi a nuqtada bo‘lgan (a-r; a+r) (r0) interval qaraladi. Teorema. Agar f(x) funksiya a nuqtani o‘z ichida saqlaydigan biror intervalda x-a ayirmaning darajalari bo‘yicha darajali qatorga yoyilgan bo‘lsa, u holda bunday yoyilma yagona bo‘ladi. Isboti. Faraz qilaylik, (a-r; a+r) (r0) intervalda (1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, bunda a0, a1, a2,… lar hozircha noma’lum koeffitsientlar deb qaraladi. Bu koeffitsientlarni topish uchun darajali qatorlarni hadma-had differensiallash mumkinligidan va f(x) funksiya hamda uning hosilalarining a nuqtadagi qiymatlaridan foydalanamiz. f(x) funksiya (a-r; a+r) (r0) intervalda darajali qator yig‘indisi bo‘lganligi sababli, u istalgan tartibli hosilaga ega va bu hosilalarni (1) ni hadma-had differensiallash natijasida topish mumkin: f’(x)=1a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)2++nan(x-a)n–1+ , f’’(x)=12a2+23a3(x-a)++(n–1)nan(x-a)n–2+ , f’’’(x)=123a3++(n–2)(n–1)nan(x-a)n–3+ , . , f(n)(x)=123(n–1)nan+ , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) va yuqoridagi ayniyatlarda x=a deb olib, quyidagilarni hosil qilamiz: f(a)=a0, f’(a)=1a1, f’’(a)=2!a2, …, f(n)(a)=n!an, …. Bundan 0 a f ( a ), f '( a ) 1 a , f ''( a ) 2 a , ... , a f ( n ) ( a ) , ... (2) n 1! 2 ! n ! Shunday qilib,berilgan intervalda yig‘indisi f(x) funksiyaga teng bo‘lgan darajali qatorning a0, a1, a2,… koeffitsientlari f(x) funksiya va a nuqta orqali (2) formulalar yordamida bir qiymatli topiladi. Bu esa berilgan intervalda f(x) funksiya yoyilmasining yagonaligini isbotlaydi. Teylor qatori Aytaylik f(x) funksiya x=a nuqtaning atrofida berilgan bo‘lib, shu atrofda istalgan tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Ta’rif. Ushbu f ( a ) f '( a ) ( x a ) f ''( a ) ( x – a ) 2 ... f ( n ) ( a ) ( x a ) n ... (1) 1! 2 ! n ! ko‘rinishdagi qatorni f(x) funksiyaning (x-a) ayirmaning darajalari bo‘yicha, boshqacha aytganda a nuqta atrofidagi Teylor qatori deyiladi. Izoh. Bunda f(x) funksiyaning (1) qator yig‘indisi bo‘lishi shart emas. Agar a=0 bo‘lsa, u holda Teylor qatori quyidagi ko‘rinishga keladi: f ( 0 ) f '( 0 ) x f ''( 0 ) x 2 ... f ( n ) ( 0 ) x n ... (2) 1! 2 ! n ! Teylor qatorining xususiy holi bo‘lgan bu qator Makloren qatori deb yuritiladi. Agar f(x) funksiya a nuqtaning biror atrofida (x-a) ayirmaning darajalari bo‘yicha darajali qatorga yoyilsa, u holda bu qator funksiyaning a nuqta atrofidagi Teylor qatori bo‘ladi. Bu natija berilgan funksiyani darajali qatorga yoyish haqidagi masalani yechishga oydinlik kiritadi. Chunki biz darajali qator koeffitsientlarining ko‘rinishini bilamiz. Bundan esa f(x) funksiyani (x-a) ayirmaning darajalari bo‘yicha qatorga yoyish masalasini a nuqtada cheksiz marta differensiallanuvchi f(x) funksiyaga nisbatan aytish mumkinligi kelib chiqadi. Ammo bu shart f(x) funksiyani Teylor qatoriga yoyishning zaruriy sharti bo‘lib, yetarli emas. Aytaylik, f(x) funksiyaning biror (a-r, a+r) intervalda cheksiz marta differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiya va uning hosilalarining x=a nuqtadagi qiymatlarini hisoblab, Teylor qatorini yozib olamiz: f ( a ) f '( a ) ( x a ) f ''( a ) ( x – a ) 2 ... f ( n ) ( a ) ( x a ) n ... (5) 1! 2 ! n ! Ushbu savolga javob izlaymiz: qachon tuzilgan qator (a-r, a+r) intervalda f(x) funksiyaga yaqinlashadi? Berilgan f(x) funksiya (a-r, a+r) intervalda cheksiz marta differensiallanuvchi bo‘lganligi sababli, shu intervaldan olingan ixtiyoriy x va istalgan n uchun Teylor formulasi o‘rinli bo‘ladi: f ( x ) f ( a ) f '( a ) ( x a ) f ''( a ) ( x a ) 2 ( x a ) n 1 R ( x ) , (6) n bu yerda R n ( x ) 1! 2 ! ( n 1) ! bu formulaning qoldiq hadi. Shu formula yordamida yuqorida berilgan savolga javob berish mumkin. teorema. f(x) funksiyaning (5) Teylor qatori biror (a–r;a+r) intervalda f(x) funksiyaga yaqinlashishi uchun f(x) funksiya Teylor formulasining R n ( x ) qoldiq hadi (a–r;a+r) intervaldan olingan barcha x larda n cheksiz kattalashganda nolga intilishi zarur va yetarli. Quyida funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishining yetarli shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz. teorema. Agar f(x) funksiya (a–r;a+r) intervalda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‘lsin. Agar shunday o‘zgarmas M soni mavjud bo‘lsaki, barcha x(a–r;a+r), hamda barcha n=0, 1, 2, uchun |f(n)(x)| M tengsizlik bajarilsa, u holda (a–r;a+r) intervalda f(x) funksiya Teylor qatoriga yoyiladi. Ba’zi funksiyalarning Teylor qatorlari f(x)=ex funksiyaning Teylor qatori. x n x x 2 x n e x 1 ... ... (1) n 0 n ! 1! 2 ! n ! f(x)=sinx funksiyaning Teylor qatori. x 2 n – 1 x 3 x 5 x 2 n – 1 s in x (– 1) n –1 x – – ... (– 1) n –1 ... (2) n 1 ( 2 n – 1) ! 3 ! 5 ! ( 2 n – 1) ! f(x)=cosx funksiyaning Teylor qatori. x 2 x 4 x 2 n x 2 n cos x 1 – – ... (– 1) n ... (– 1) n (3) 2 ! 4 ! ( 2 n ) ! n 1 ( 2 n ) ! f(x)=ln(1+x) funksiyaning Teylor qatori. x d t x x n 1 ln (1 x ) (– t ) n (– 1) n , yoki 0 t 0 n 0 x 2 x 3 n 0 x 4 n 1 x n ln (1 x ) x – – ... (– 1) n –1 ... . (4) 2 3 4 n f(x)=(1+x), (|x|<1 va -ixtiyoriy son) funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Bu funksiyaning Teylor formulasi ( – 1) 2 ( – 1)...( – n 1) n 1 x 1 x 1! 2 ! x ... x Rn(x). n ! Darajali qatorlarning ba’zi bir tatbiqlari. 1-misol. ln1,2 ni 0,0001 aniqlikda hisoblang. Yechish. ln(1+x) funksiyani x ning darajalari bo‘yicha yoyamiz: x 2 x 3 x n ln (1 x ) x ... ( 1) n 1 ... , bu qator (-1;1] sohada yaqinlashadi. 0 , 2 2 0 , 2 3 0 , 2 n ln 1, 2 0 , 2 ... ( 1) n 1 ... 2 3 n ishora navbatlashuvchi qatorga ega bo‘lamiz. Bu qatorning birinchi k ta hadini yig‘indisini ln1,2 ning taqribiy qiymati deb olsak, u holda xatolikning absolyut qiymati k+1 chi hadning absolyut qiymatidan kichik bo‘ladi. Qator beshinchi hadining absolyut qiymati 0,000064 ga teng ya’ni 0,0001 dan kichik. Shu sababli hisoblash uchun birinchi to‘rtta hadini olish yetarli: 0 , 0 4 0 , 0 0 8 0 , 0 0 1 6 ln 1, 2 0 , 2 0 ,1 8 2 2 8 2 4 4 0 ,5 sin x Misol. 0,0001 aniqlikda 0 dx integralni hisoblang. x Yechish. sinx funksiyani uning darajali qatori bilan almashtiramiz va hosil bo‘lgan qatorni hadma-had integrallab quyidagiga erishamiz: 0 ,5 s in x 0 ,5 x 2 x 4 x 3 x 5 0 ,5 0 ,125 0 ,03125 x dx = 1 – 3 ! 5 ! – ... dx x – 3 3 ! – | 5 5 ! 0,5– 18 + – 600 0 0 0 0 ,03125 . Natijada, ishora navbatlashuvchi qator hosil bo‘ldi. Bunda <0,0001 bo‘lganligi 600 sababli, talab qilingan aniqlikda hisoblash uchun bu qatorning avvalgi ikkita hadi yig‘indisi bilan 0 ,5 sin x 0 ,125 chegaralanish kifoya. Shunday qilib, 0 dx 0,5– x 18 0,4931. Bundan tashqari darajali qatorlar yordamida ba’zi limitlarni, qator yig‘indilarini hisoblash hamda differensial tenglamalarni yechish mumkin. Download 435.77 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|