Qism fazolar haqidagi teoremalar. Reja: Kirish Asosiy qism

1- teorema. fazoning istalgan ta vektori o‘zaro chizщli bog‘langan bo‘ladi. Isboti. vektorlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan,
vektor nol vektorni ifodalashi uchun bo‘lishi kerak. Endi R" ning istalgan ta vektori ortlar orqali chiziqli ifodalanishini ko‘rsatamiz.
Istalgan nol bo‘lmagan vektorni olamiz. Yuqorida ko‘rib o‘tganimizdek = bo‘ladi. Bundan kelib chiqadi. Oxirgi tenglik p+1 ta vektorning chiziqli bog‘langan ekanligini ko‘rsatadi. Natijada ortlar arifmetik fazoning bazisini tashkil etadi.
2- teorema. V vektor fazoning ixtiyoriy vektori (2) bazis vektorlar sistemasi orqali yagona usulda chi­zщli ifodalanadi.
Isboti. V chiziqli fazoda (2) sistema bazis bo‘lsa, unda bazisning ta’rifiga asosan, istalgan ta vektor chizikli bog‘langan bo‘ladi. Demak, kamida bittasi noldan farkli shunday sonlar mavjudki,
ular uchun
(3)
tenglik [bajariladi. O‘z-o‘zidan ma’lumki, tenglikda aks holda
(4)
bo‘lib, (4) tenglik (2) sistemaning bazis ekanligiga zid ke-ladi. (3) tenglikning ikkala tomonini ga bo‘lib va
haddan boshqa hadlarni qarama-qarshi ishora bilan o‘ng tomonga o‘tkazib, quyidagini hosil qilamiz:
(5)
(5) da bo‘ladi.

5. QISM FAZOLARNING [YIG‘INDISI VA TO‘GRI YIG‘INDISI
Aytaylik, A chiziqli fazo va lar uning qism fazolari bo‘lsin. Ma’lumki, ham A chiziqli fazoning kism fazosi bo‘ladi. Qism fazolar kesishmasi tushunchasi orkali ularning yig‘indisi va to‘g‘ri yig‘indisi tushunchalari mavjud.
1- t a ‘ r i f. bo‘lganda
(1).
ko‘rinishdagi barcha yig‘indilar to‘plamiga qism fazolar yig‘indisi deyiladi va u
(2)
orqali belgilanadi.
Misol. A chiziqli fazo sifatida (uch o‘lchovli vektor fazo) dagi barcha chiziqli erkli vektorlar to‘plamini olamiz.
sifatida tekislikka parallel bo‘lgan barcha chiziqli erkli vektorlar fazosini, sifatida tekislikka paral­lel bo‘lgan barcha chiziqli erkli vektorlar fazosini olamiz. Bu holda va larning yig‘indisi A fazoni beradi.
esa o‘qqa parallel bo‘lgan chizikli erkli vektor­lar to‘plamidan iboratdir.
Haqiqatan, lar moye rzvishda o‘qlarga parallel bo‘lgan bazis vektorlar bo‘lsa, A ixtiyoriy vektori ko‘rinishda bo‘lib, bu yerda bo‘ladi.
2-ta’rif. Agar (2) qism fazoning har bir vektori yagona usulda (I) ko‘rinishda ifodalansa, (2) yig‘indiga qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi deyiladi va u orqali belgilanadi.