Qisman tartiblangan to‘plamlar

Qisman tartiblangan to‘plamlar
Ma’lumki, haqiqiy sonlarning asosiy xususiyatlaridan biri ularni solishtirish mumkinligi edi, ya’ni har qanday ikki haqiqiy sonning birini ikkinchisidan katta, teng yoki kichikligini aniqlash mumkin. Shu ma’noda haqiqiy sonlar tuplami chiziqli tartiblangan, ya’ni har qanday ikki x va y haqiqiy son uchun quyidagi uch munosabatdan biri o‘rinlidir: x y x y x y    , , . Ammo matematikaning turli sohalarida odatda shunday ob’ektlar uchraydiki, ularning orasida chiziqli tartib o‘rnatilmagan. Ularning ba’zi bir juft elementlarinigina solishtirish mumkin. Masalan, F to‘plam [0, 1] oraliqda aniqlangan barcha haqiqiy funksiyalardan iborat bo‘lsin. Agar F dan olingan f va g funksiyalar uchun har qanday x[0,1] nuqtada f(x) son g(x) sondan kichik bo‘lmasa, f(x) ni g(x) dan katta yoki teng deymiz. F to‘plamni shu ma’noda qisman tartiblangan deymiz. Bu misol shuni ko‘rsatadiki, F to‘plamda ixtiyoriy ikki funksiyani emas, balki ba’zi bir juft funksiyalarnigina solishtirish mumkin. Haqiqatdan ham, agar biror nuqtada f funksiya g funksiyadan katta bo‘lib, boshqa bir nuqtada f funksiya g funksiyadan kichik bo‘lsa, biz bunday funksiyalarni solishtira olmaymiz. Ta’rif. Agar biror X to‘plamning ba’zi juft x va y elementlari uchun biron qoidaga muvofiq munosabat berilgan bo‘lib, u quyidagi uchta aksiomani qanoatlantirsa, u holda X to‘plam qisman tartiblangan, “ ” munosabat esa qisman tartib yoki tengsizlik deyiladi: 1) x x  ; 2) agar x y  va y x  bo‘lsa, u holda x = y; 3) agar va y z  bo‘lsa, u holda x z  . Kelgusida x y  munosabatni ba’zan y x  ko‘rinishda ham yozamiz. x y  x y  149 Bu holda x katta yoki teng y (y kichik yoki teng x) deb o‘qiladi. Agar qisman tartiblangan to‘plamda x va y elementlar uchun ushbu x y x y   , munosabatlarning biri o‘rinli bo‘lsa, u holda bu elementlarni solishtirish mumkin deyiladi. Misollar. 1) R n vektor fazoda x = (x1 , x2, . . . , xn) va y = (y1, y2 ,…,yn) vektorlar uchun i i x y  munosabat ixtiyoriy i- koordinatada bajarilsa, x y  deymiz. Yuqoridagi 1) - 3) aksiomalarning bajarilishi bevosita tekshiriladi. 2) m, s, l2 fazolarda ham qisman tartib koordinatalar yordamida birinchi misoldagidek aniqlanadi. 3) N natural sonlar to‘plami bo‘lsin. Agar m son n songa bo‘linsa, m n  deymiz. Masalan, 8 4, 9 3   . Lekin 9 va 6 sonlarini bu ma’noda solishtirib bo‘lmaydi. Demak, N to‘plam bu ma’noda qisman tartiblangan. 4) M ixtiyoriy to‘plam bo‘lib,  sistema M ning barcha qism to‘plamlaridan iborat bo‘lsin. A B,  elementlar uchun A B  munosabat bajarilsa, A B  deymiz. Bu holda ( , )   juftlik qisman tartiblangan to‘plam bo‘ladi. Ixtiyoriy to‘plamda qisman tartibni turlicha kiritish mumkin. Masalan, natural sonlar to‘plamida qisman tartibni odatdagicha (bunda N chiziqli tartiblangan bo‘ladi) va yuqoridagi 3) misoldagidek ham kiritish mumkin bo‘lib, bu ikki qisman tartib turlidir. Shuning uchun qisman tartiblangan to‘plam ko‘rilganda to‘plam bilan birga qanday tartib kiritilganligini aniqlab qo‘yish zarur. Ta’rif. Agar qisman tartiblangan to‘plamning har qanday ikki elementini solishtirish mumkin bo‘lsa, bu to‘plam zanjir yoki chiziqli tartiblangan deyiladi. Masalan, R haqiqiy sonlar to‘plami chiziqli tartiblangandir. Ta’rif. Qisman tartiblangan X to‘plamning har qanday x y X ,  elementlari uchun ushbu z x z y z x z y     , ( , ) 150 munosabatlarni qanoatlantiradigan z X  element mavjud bo‘lsa, u holda X to‘plam yuqoriga (pastga) yo‘nalgan deyiladi. Ravshanki, har qanday zanjir ham yuqoriga, ham pastga yo‘nalgandir. Yo‘nalgan to‘plam tushunchasi ketma-ketlik tushunchasini umumlashtirishda foydalidir. Har qanday 1 { }n n x   ketma-ketlikni natural argumentning funksiyasi deb hisoblash mumkin, ya’ni ( ): n x x n N X   . Biror x f  ( )  funksiya qisman tartiblangan A to‘plamda aniqlangan va uning qiymatlari biror X to‘plamdan bo‘lsin deb faraz qilaylik. Quyidagi ta’rifni berish uchun biz  argumentni indeks ko‘rinishida, funksiyani esa { } A x  ko‘rinishda yozamiz. Ta’rif. Agar A yuqoriga yoki pastga yo‘nalgan to‘plam bo‘lsa, { } A x  funksiya to‘r, x elementlar esa to‘rning hadlari deyiladi. Misollar. 5) odatdagi { }n x X  ketma-ketlik to‘rdir. Bu yerda xn=x(n) natural sonlar to‘plamida aniqlangan funksiya. Natural sonlar to‘plami esa yuqoriga yo‘nalgan to‘plamdir. 6) 4-misoldagi  to‘plam ixtiyoriy A va B elementlar bilan birga ularning A B  kesishmasini ham o‘z ichiga oladi. Demak,  pastga yo‘nalgan to‘plam bo‘ladi. Endi har qanday A uchun A ning biror elementini tanlab olib, uni ( ) A x A x  deb belgilasak, { }A A x  to‘r hosil qiladi. To‘r tushunchasi ayniqsa topologiyada muhim rol o‘ynaydi. X qisman tartiblangan to‘plam bo‘lsin. E to‘plam X ning qismi bo‘lib, y X  shunday element bo‘lsaki, har qanday x E  uchun y x y x   ( ) tengsizlik bajarilsa, u holda y element E to‘plamning yuqori chegarasi (quyi chegarasi) deyiladi. Agar E to‘plamning yuqori (quyi) chegarasi mavjud bo‘lsa, E to‘plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. Yuqoridan hamda quyidan chegaralangan to‘plam chegaralangan to‘plam deyiladi. Agar y X  shunday element bo‘lsaki, X to‘plamda undan katta (kichik) element mavjud bo‘lmasa, u holda y maksimal (minimal) element deyiladi. Shuni aytish kerakki, X to‘plamda maksimal element bilan solishtirib bo‘lmaydigan elementlar 151 mavjud bo‘lishi mumkin. Misol. 7) Uch x, y, z elementdan iborat bo‘lgan X to‘plamda qisman tartibni quyidagicha kiritamiz: x y x z y   , ; va z o‘zaro solishtirib bo‘lmaydigan elementlar. Bu to‘plamda y va z maksimal elementlar, x esa minimal element. Quyida isbotsiz keltirilgan lemma matematikada katta rol o‘ynaydi. Sorn lemmasi. Agar qisman tartiblangan X to‘plamda har qanday zanjir yuqori chegaraga ega bo‘lsa, u holda har qanday 0 x X  element uchun undan katta yoki teng bo‘lgan maksimal element mavjud. Ta’rif. X qisman tartiblangan to‘plam bo‘lsin. Agar E X  to‘plam uchun eng kichik yuqori chegara mavjud bo‘lsa, bu element supremum yoki aniq yuqori chegara deyiladi va sup E (yoki VE) bilan belgilanadi. Ya’ni sup E shunday elementki: (1) har qanday x E  element uchun sup E x  ; (2) agar har qanday x E  uchun y x  bo‘lsa, bu holda y E  sup . Shunga o‘xshash, infimum yoki aniq, quyi chegara tushunchasi kiritiladi, ya’ni infE (yoki)  E shunday elementki: (1) har qanday x E  element uchun inf E x  ; (2) agar har qanday x E  element uchun y x  bo‘lsa, u holda y inf  E Agar indekslarga bog‘liq { } à y  sistema berilgan bo‘lsa, bu sistemaning supremumi (infimumi) sup Г y  yoki à y   ( inf à y  yoki à y   ) bilan belgilanadi. Shuni aytib o‘tish kerakki, har qanday to‘plam supremumga yoki 152 infimumga ega bo‘lishi shart emas. 8) Masalan, to‘rt elementli {a, b, c, d} to‘plamda qisman tartibni quyidagicha kiritamiz (1-rasm): a c a d b c b d     , , , , a va b, c va d solishtirib bo‘lmaydigan elementlar. Bu misolda {a, b} va {c, d} to‘plamlar supremumga ham, infimumga ham ega emas. sup va inf tushunchalarining ta’riflaridan ularning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi: a) agar E to‘plam uchun supE (infE) mavjud bo‘lsa, u yagonadir; b) agar sup E va inf E mavjud bo‘lsa, u holda supE inf  E ; v) agar E E 1 2  bo‘lsa, va supE1, supE2, (infE1, infE2) mavjud bo‘lsa, bu holda 1 2 1 2 sup sup (inf inf ) E E E E   ); g) agar har qanday 1 x E  va 2 y E  elementlar uchun x y  tengsizlik bajarilib, supE1 va InfE2 mavjud bo‘lsa, u holda 1 2 sup inf E E  . 1-teorema (assotsiativlik qonuni). E E    bo‘lib, har qanday   uchun supE y    va sup à y y   mavjud bo‘lsa u holda y E = sup ya’ni sup =sup (supE ) E   . Isboti. Har qanday x E  uchun shunday   mavjudki, x E   va x y y   . Demak, y element E to‘plamning yuqori chegarasi. Yana biror z elementni E to‘plamning yuqori chegarasi deb faraz qilaylik. E E   bo‘lgani uchun z har qanday E to‘plamning ham yuqori chegarasi, ya’ni y z   . Shuning uchun y=sup y z   . Demak, y = supE.* Assotsiativlik qonuni inf uchun ham o‘rinli.