Qobulov shahzodning kompyuterli modellashtirish fanidan tayyorlagan

Teorema: Aytaylik AX=B sistema kvadrat ildizlar usuli qoʻllanilishi shartlarini bajarsin, u holda shunday S yuqori uchburchak matritsa mavjudki
𝑆^𝑇 ∙𝑆=𝐴 (4)
boʻladi.
Bunday holda boshlangʻich (3) sistemani
𝐴∙𝑋=𝐵⁡⁡⁡⟹(𝑆^𝑇 ∙𝑆)∙𝑋=𝐵⟹⁡𝑆^𝑇 ∙(𝑆∙𝑋)=𝐵 koʻrinishda yozish mumkin. Agar 𝑆∙𝑋=𝑌 deb belgilash kiritsak, u holda X yechimni topish algoritmi quyidagicha koʻrinishni oladi:

1. 
   𝑆^𝑇 ∙𝑆=𝐴 tenglamadan S-matritsa elementlarini topamiz.
   
2. 
   𝑆^𝑇 ∙𝑌=𝐵 tenglamadan Y-ustun matritsa (vector) elementlarini topamiz.
   
3. 
   𝑆∙𝑋=𝑌 tenglamadan esa X-ustun matritsa, yaʼni yechimni topamiz.
   

Yuqorida keltirilgan algoritmda faqatgina birinchi bosqich koʻp mehnat talab qiladi. Masalan A matritsa 4×4 matritsa boʻlsa, u holda S matritsani topish formulalarini keltiramiz, keyin umumiy holga oʻtamiz:
𝑠11⁡𝑠12⁡⁡⁡𝑠13⁡⁡⁡𝑠14 𝑠11⁡ 0 0⁡⁡⁡ 0
𝑆=(0⁡ 𝑠22 𝑠23 ⁡𝑠24) , 𝑆𝑇 =(⁡𝑠21⁡⁡𝑠22⁡⁡0⁡0) ⟹𝑆𝑇 ∗𝑆=𝐴⟹⁡
0 0 𝑠 𝑠 𝑠31 𝑠₃₂⁡⁡𝑠₃₃ 0
0 0 0 44 𝑠41 𝑠₄₂ 𝑠₄₃⁡𝑠44
𝑠11⁡ 0 0⁡⁡⁡ 0 𝑠₁₁⁡𝑠₁₂⁡⁡_⁡𝑠13⁡⁡⁡𝑠14 𝑎11⁡𝑎12⁡⁡⁡𝑎13⁡⁡⁡𝑎14
(⁡𝑠21⁡⁡𝑠₂₂⁡⁡0⁡⁰)∗(0⁡ 𝑠22 𝑠23 ⁡𝑠24)=(𝑎21⁡𝑎22 𝑎23 ⁡𝑎24)⟹
𝑠31 𝑠₃₂⁡⁡𝑠₃₃ 0 0 0 𝑠33 𝑠34 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑠41 𝑠₄₂ 𝑠₄₃⁡𝑠44 0 0 0 𝑠44 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
𝑠 , 𝑠_1𝑖 = ^𝑎_𝑠11^1𝑖⁡⁡,𝑖=2,…,𝑛 va hokazo. Aytaylik S matritsaning (i-1) ta qator elementlarini topilgan boʻlsa, u holda quyidagicha umumiy formulalarga ega boʻlamiz, :
𝑠_𝑖𝑖 𝑠_𝑘𝑖² , 𝑠_{𝑖𝑗 𝑆}𝑖𝑖 ^𝑖_𝑘⁻₌¹₁ 𝑠_𝑘𝑖 ∗𝑠_𝑘𝑗)⁡,⁡⁡⁡𝑖=̅2̅̅,̅̅𝑛̅ , 𝑗=𝑖̅̅+̅̅̅1̅̅,̅𝑛̅
10 ta tenglamaga ega boʻldik. Bir qarashda masalani yanada mukamallashtirgandekmiz, lekin hosil boʻlgan Sistema juda oson yechiladi. 1- tenglamadan 𝑠₁₁ ni, 2- tenglamadan 𝑠₁₂ ni, ….. topib borilaveradi va natijada qidirilayotgan matrisaning barcha elementlari topiladi.
Ushbu usulni simmetrik boʻlmagan va musbat aniqlanmagan A matritsali ChATS uchun ham qoʻllash mumkin. Buning uchun usulni qoʻllashdan oldin (3) ChATS ni chapdan matritsaga koʻpaytirish kifoya
𝐴∙𝑋=𝐵⁡⁡⁡⟹⁡⁡⁡𝐴^𝑇 ∙𝐴∙𝑋=𝐴^𝑇 ∙𝐵 natijada (3) ga ekvivalent boʻlgan sistemaga ega boʻlamiz:
𝐴̅∙𝑋=𝐵̅ (5)
bunda 𝐴̅=𝐴^𝑇 ∙𝐴,⁡⁡⁡𝐵̅=𝐴^𝑇 ∙𝐵 boʻlib, 𝐴̅ – matritsa simmetrik va musbat aniqlangan boʻladi, natijada kvadrat ildiz usulidan foydalansak boʻladi. (3) dan (5) ga oʻtish sistemani simmetrizatsiyalash deyiladi.