Qobulov shahzodning kompyuterli modellashtirish fanidan tayyorlagan

Natija 1. A matritsa determinanti
𝑑𝑒𝑡(𝐴)=𝑑𝑒𝑡(𝑆^𝑇 ∙𝑆)=
=𝑑𝑒𝑡𝑆^𝑇 ∙det(𝑆)=(𝑆₁₁ ∙𝑆₂₂ ∙…∙𝑆_𝑛𝑛)∙(𝑆₁₁ ∙𝑆₂₂ ∙…∙𝑆_𝑛𝑛)= =𝑆112 ∙𝑆222 ∙…∙𝑆𝑛𝑛2 >0
boʻladi.
Natija 2. A matritsaning teskarisi 𝐴⁻¹ matritsani topish uchun, 𝐴∙𝑋=𝑒_𝑖⁡,= 1,…,𝑛 , n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish lozim edi, bunda 𝑒_𝑖 lar birlik ortalar (i-qatorda 1, qolgan qatorlarda 0 lar turgan ustun matritsa). Aytaylik A matritsa uchun S matritsa topilgan boʻlsin, u holda
𝐴∙𝑋=𝑒_𝑖 ⁡⟹⁡𝑆^𝑇 ∙𝑆∙𝑋=𝑒_𝑖 ⟹𝑆∙𝑋=𝑌⁡deb belgilasak, u holda
𝑆^𝑇 ∙𝑌=𝑒_𝑖 ⟹𝑆∙𝑋=𝑌⁡,𝑖=1,…,𝑛 formulalariga ega boʻlamiz va 𝑖=1,…,𝑛 boʻlganda A^-1 matritsaning 1,…,n ustunidagi sonlarni topamiz.
Masalan: 𝐴=(^{4 2}), boʻlsin 𝐴⁻¹−? Kvadrat ildiz usulida topilsin.
2 2
S – matritsani aniqlaymiz: S=(𝑠0¹¹ 𝑠^𝑠12₂₂)⟹𝑠
𝑎

𝑠₁₂ =𝑠₁₁¹² =22=1,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠₂₂ =√𝑎₂₂ −𝑠₁₂² =√2−1² =1
𝑆⟹⁡⁡⁡𝑆^𝑇
𝑆^𝑇 ∙𝑌=𝑒₁ ⁡⁡⟹⁡⁡⁡(21 01)∙(𝑦𝑦1₂ 10 −11⁄⁄22) )=( )⁡⁡⁡⟹𝑌=(
)=( )⁡⁡⁡⟹𝑋=(
𝑆∙𝑋=𝑌⁡⁡⟹⁡⁡⁡(02 11)∙(𝑥𝑥1₂ −11//22 −11⁄⁄22)
𝑆^𝑇 ∙𝑌=𝑒₂ ⁡⁡⟹⁡⁡⁡(²1 ⁰1)∙(𝑦^𝑦1₂)=(⁰1)⁡⁡⁡⟹𝑌=(⁰1)
𝑆∙𝑋=𝑌⁡⁡⟹⁡⁡⁡)∙(𝑥^𝑥1) ⁰ −1^⁄2)
=( )⁡⁡⁡⟹𝑋=(

2 1 1

u holda 𝐴 boʻladi.
Misol.

9𝑥1 +3𝑥2 +4𝑥3 =3 9 {3𝑥1 +2𝑥2 +𝑥3 =1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⟹𝐴=(3 4𝑥1 +𝑥2 +2𝑥3 =−1 4	3 4 2 1), 1 2	3 𝐵=(1) −1
? A – simmetrik matritsa boʻlgani uchun S=(0 0	? ? ? ?) -? 0 ?

1-qator elementlarini 𝑠 ,…, formulalardan topamiz.
𝑎12 𝑎13

𝑠, 𝑠₁₂ = ==1,⁡⁡⁡𝑠₁₃ = =⁡
𝑠11 𝑠11
2-qator elementlarini quyidagicha formulalar orqali topiladi:
𝑠
𝑠
𝑠
Natijada S= ⟹⁡⁡⁡⁡𝑆^𝑇
u holda

𝑆^𝑇 𝐵⁡⁡⁡⟹⁡⁡ ⁡⁡⟹𝑦₁ =1,𝑦₂ =0,𝑦₃ =−7

𝑆 𝑌⁡⁡⁡⟹⁡⁡ ⁡⟹𝑥₁ =12,𝑥₂ =−7,𝑥₃ =−21


1. Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo`lsin. Matritsalarni ko`paytirish amali va matritsalar tengligi ta`rifidan foydalanib, sistemani

AX = B

matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a<sub>iκ</sub>) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma`lumlar ustun matritsasi.

Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo`lib, A<sup>-1</sup> uning tes-kari matritsasi bo`lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A^-1 matritsaga ko`paytiramiz va

A^-1A = E, EX =X

tengliklarni e`tiborga olsak,

X = A^-1B (1)

tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A^-1 quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko`paytiriladi.
Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini teskari matritsa usulida yeching:
1) 2) 3)

1)

Sistema yechimi: ( 9; -5 ).

2) qism matritsa rangi sistema rangiga teng bo`lgani uchun sistema dastlabki ko`rinishini unga teng kuchli quyidagi shakli bilan almashtiramiz:

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini qo`llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim ko`rinishlaridan biri shaklda yozilishi mumkin. Bu yerda, x₂єR.

3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini Jordan usulida aniqlaymiz:

 …

Sistema yagona yechimini teskari matritsa usuli formulasini qo`l-lab, quramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).

Har bir usul kabi teskari matritsa usuli o`zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega. Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari ustuniga ko`paytiriladi va natija olinaveradi. Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish jarayoni bilan bog`liq bo`lib, ayniqsa, detA nolga yaqin bo`lganda ko`p xonali sonlar ustida hisob-kitoblarni talab etadi.