Qoraqalpoq davlat universtiteti Fizika fakulteti 2-v guruh talabasi Sobirov Muzaffarbekning Nazariy mexanika fanidan ishlagan mustaqil ishi Mavzu: Inertsiya tenzori va inertisya ellipsoidi. Kamilton tenglamalari

Gamilton tenglamalari
Lagranj formalizmi klassik mexanikadagi yagona formalizmi emas.
Ushbu bobda ko'rib chiqiladigan kanonik yoki Gamilton metodi
mexanikaning yana bir eng umumiy metodi bo'lib Lagranj metodidan
ba’zi bir jihatlarda hatto ustunligi ham bor. Shu metodni o'rganishga
o'taylik.
Lagranj metodida umumlashgan koordinatalar va umumlashgan
tezliklarning funksiyasi bo'lmish Lagranj funksiyasini topish kerak edi
va shu funksiyadan foydalanib vaqtga nisbatan ikkinchi tartibli difTerensial tenglamalar bo'lgan harakat tenglamalarini topish kerak edi.
Vaqtga bog’liq bo’lmagan Lagranj funksiyasining to’liq differensialini yozaylik:

(7.1)

Umumlashgan impuls ta’rifi
(7.2)
Eyler-Lagranj harakat tenglamalari
(7.3)
Va
(7.4)
Dan foydalanib yuqoridagi formulani
(7.5)
Ko’rinishga keltiraylik. Bu munosabatning o’ng tomoniga ahamiyat berilsa, chap tomondagi kombinatsiya q va p argumentlarning funksiyasi ekanini ko’ramiz. Shu boisdan uchun yangi belgilash kiritaylik:
(7.6)
Kiritilgan funksiya Gamilton funksiyasi deyiladi. Lagranj funksiyasidan Gamilton funksiyasiga o‘tish uchun bajarilgan almashtirish Lejandr almashtirishi deyiladi.
Olingan
(7.7)
Formuladan darhol quyidagi formula kelib chiqadi:

Olingan tenglamalarning nomi - Gamilton tenglamalari. U lar
ko’pincha kanonik tenglamalar ham deyiladi.
Gamilton funksiyasining ta’rifi (7.6) ni energiyaning ta’rifi (2.5)
bilan taqqoslansa, ularning bir xil ekanligini ko'ramiz, faqat Gamilton
funksiyasi energiyam umumlasgan impuls va koordinatalarning funksiyasi
Sl atida ifodalanadi. Bu ikkala ifodalarning son qiymatlari (koordinatlar va impulslar harakat tenglamalarining yechimlari bo'lgan holda) bir xildir.
7.1.1-misol. Bir o’lchamli garmonik ossilatorning Lagranj funksiyasi
(7.9)
Umumlashagn impuls:
(7.10)
Bu yerdan ni p ning funksiyasi sifatida topib olamiz:
(7.11)
Gamilton funksiyasi:
(7.12)
Ikkinchi tenglik belgisidan so'ng (7.11) formula qo'llanildi. Gamilton
tenglamalari:
(7.13)
Bu ikkita birinchi tartibli tenglamadan bitta ikkinchi tartibli (o'zimizga yaxshi ma’lum bo'lgan) tenglamaga o'tish mumkin:
.