Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Gipotezalar ehtimoli. Beys formulasi. Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli formulasi. Laplasning lokal va integral teoremasi.


Gipotezalar ehtimoli. Beyes formulasi.
Faraz qilaylik, A hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan sinash o‘tkazilgan bo‘lsin B₁, B₂, ... , B_n hodisalardan biri ro‘y berish shartidagina ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu hodisalarning qaysi biri ro‘y berishi avvaldan noma’lumbo‘lgani sababli ular gipotezalar deyiladi. A hodisaning ro‘y berish ehtimoli to‘la ehtimol formulasiga asosan aniqlanadi:

Faraz qilaylik, sinash o‘tkazilgan bo‘lib, uning natijasida A hodisa ro‘y bergan bo‘lsin.Gipotezalarning ehtimollari qanday o‘zgarganligini (A hodisa ro‘y berganligi sababli) aniqlash masalasini qo‘yaylik. Boshqacha aytganda,

shartli ehtimollarni izlaymiz.
Avval shartli ehtimolni topamiz. Ko‘paytirish teoremasiga asosan quyidagini hosik qilamiz:

Bunda
.

Bu munosabatda P(A) ni formulaga asosan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:
.
Hosil qilingan formulalar (ularni 1764 yilda keltirib chiqargan ingliz matematigi nomi bilan) Beyes formulalari deyiladi. Beyes formulalari sinash natijasida A hodisa ro‘y berganligi ma’lum bo‘lgandan so‘ng gipotezalar ehtimollarini qayta baholashga imkon beradi.
Misol. Zavod sexida tayyorlanadigan detallar ularning standartligini tekshirish uchun ikki kotrolyordan biriga tushadi. Detalni birinchi kontrolyorga tushish ehtimoli 0,6 ga, ikkinchisiga tushish ehtimoli 0,4 ga teng. Yaroqli detalni standart deb tan olish ehtimoli birinchi kontrolyor uchun 0,94 ga, ikkinchisi uchun 0,98 ga teng. Shu detalni birinchi kontrolyor tekshirganlik ehtimolini toping.
Yechish. A orqali yaroqli detal standart deb qabuk qilinganlik hodisasini belgilaymiz. Ikki hil taxmin qilish mumkin:
1) detalni birinchi kontrolyor tekshirgan (B₁ gipoteza);
2) detalni ikkinchi kontrolyor tekshirgan (B₂ gipoteza).
Izlanayotgan ehtimolni, ya’ni detalni birinchi kontrolyor tekshirganligi ehtimolini Beyes formulasi bo‘yicha topamiz:
.
Masala shartiga ko‘ra:
P(B₁)=0,6 ( detalni birinchi kontrolyorga tushish ehtimoli);
P(B₂)=0,4 (detalni ikkinchi kontrolyorga tushish ehtimoli);
( birinchi kontrolyorning yaroqli detalni standart deb qabul qilish ehtimoli);
(ikkinchi kontrolyorning yaroqli detalni standart deb qabul qilish ehtimoli).
Izlanayotgan ehtimol:
.
Ko‘rinib turibdiki, sinashgacha B₁ gipotezaning ehtimoli 0,6 ga teng edi, sinash natijasi ma’lun bo‘lgandan so‘ng esa shu gipotezaning ehtimoli (aniqrog‘i, shartli ehtimoli) o‘zgaradi va 0,59 ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, Beyes formulasi qaralayotgan gipotezaning ehtimolini qaytabaholashga imkon beradi.