Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli formulasi.
Agar bir necha sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli boshqa sinash natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bunday sinashlar A hodisaga nisbatan erkli deyiladi.³
Har xil erkli sinashlarda A hodisa yo har xil ehtimolga ega bo‘lishi mumkin. Biz bundan keyin A hodisa bir xil ehtimolga ega bo‘lgan erkli sinashlarni tekshiramiz.
Biz quyida har biri sodda hodisa deb ataladigan bir necha sodda hodisalarning birgalikda ro‘y berishidan iborat bo‘lgan murakkab hodisa tushunchasidan foydalanamiz.
Faraz qilaylik, n ta o‘zaro erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisa yo ro‘y berishi, yoki ro‘y bermasligi mumkin bo‘lsin. A hodisaning ehtimoli har bir sinashda bir xil, chunonchi p ga tehg deb hisoblaymiz. Demak, har bir sinashda A hodisaning ro‘y bermaslik ehtimoli ham o‘zgarmas va q=1-p ga teng.
n ta sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berishi, va demak, n-k marta ro‘y bermaslik ehtimolini hisoblashni o‘z oldimizga maqsad qilib qo‘yaylik.
Shuni aytib o‘tish mumkinki, A hodisaning k marta aniq bir ketma- ketlikda ro‘y berishi talab qilinmaydi. Masalan, agar A hodisani to‘rtta sinashda uch marta ro‘y berishi to‘g‘risida gap ketsa, u holda quyidagi murakkab hodisalar bo‘lishi mumkin;
,
yozuv birinchi, ikkinchi va uchinchi sinashda A hodisa ro‘y berib, to‘rtinchida esa ro‘y bermasligini, ya’ni qarama- qarshi hodisa ro‘y berganligini bildiradi; qolgan yozuvlar ham tegishli ma’noni bildiradi.
Izlanayotgan ehtimolni orqali belgilaymiz. Masakan imvol beshta sinashda hodisa rosa 3 marta ro‘y berishi, demak, 2 marta ro‘y bermaslik ehtimolini bildiradi.
Qo‘yilgan masalani Bernulli formulasi deb ataluvchi formula hal etadi.
Bernulli formulasini kelib chiqishi. n ta sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish va n-k marta ro‘y bermasligidan iborat bo‘lgan bitta murakkab hodisaning ehtimoli erkli hodisalar ehtimoli ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra

ga teng. Bunday murakkab hodisalar n ta elementdan k tadan nechta gruppalash tuzish mumkin bo‘lsa, shuncha, ya’ni ta bo‘ladi. Bu murakkab hodisalar birgalikda bo‘lmaganligi uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalar ehtimollarini qo‘shish teoremasiga asosan, izlanayotgan ehtimol barcha mumkin bo‘lgan murakkab hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng. Bu murakkab hodisalarning ehtimollari bir xil bo‘lgani uchun izlanayotgan ehtimol ( n ta sinashda A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli) bitta murakkab hodisaning ehtimolini ularning soniga ko‘paytirilganiga teng:

yoki

Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deyiladi.

Misol. Bir sutkada elektr energiya sarfining belgilangan normadan ortib ketmaslik ehtimoli p=0,75 ga teng.Yaqin 6 sutkaning 4 sutkasi davomida elektr energiya sarfining normadan ortib ketmaslik ehtimolini toping.
Yechish. 6 sutkaning har birida elektr energiyaning normada sarflanish ehtimoli o‘zgarmas va p=0,75 ga teng. Demak, har bir sutkada elektr energiyaning normadan ortiq sarflanish ehtimoli ham o‘zgarmas va q=1-p=1-0,75=0,25 ga teng.
Izlanayotgan ehtimol Bernulli formulasiga ko‘ra quyidagiga teng:

Hodisalarning: a) k dan kam marta; b) k dan ko‘p marta; v) kamida k marta; g) ko‘pi bilan k marta ro‘y berish ehtimoli ushbu formulalar bilan topiladi: