Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Toʻla ehtimol formulasi.
Faraz qilaylik, A hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan B₁, B₂, ... , B_n hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartida ro‘y bersin. Bu hodisalarning ehtimollari va A hodisaning shartli ehtimollari ma’lum bo‘lsin. A hodisaning ehtimolini qanday topish mumkin? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema. To‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan B₁, B₂, ... , B_n hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartidagina ro‘y beradigan A hodisaning ehtimoli shu hodisalardan har birining ehtimolini A hodisaning ehtimoliga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:²

Bu formula ”to‘la ehtimol formulasi” deyiladi.

Misol. Ikki to‘da detallar bor. Birinchi to‘dadagi detalning standart bo‘lish ehtimoli 0,8 ga, ikkinchi to‘dadagi detalning standart bo‘lishi esa 0,9 ga teng. Tavakkaliga (tavakkaliga tanlangan to‘da) olingan detalning standart bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. A hodisa orqali standart detal olinishini belgilaymiz.
Detal yo birinchi to‘dadabn (B₁ hodisa), yoki ikkinchi to‘dadan (B₂ hodisa) olingan bo‘lishi mumkin. Detal birinchi to‘dadan olingan bo‘lish ehtimoli:
.
Detal ikkinchi to‘dadan olingan bo‘lish ehtimoli:
.
Birinchi to‘dadan standart detal olingan bo‘lishining shartli ehtimoli:
.
Ikkinchi to‘dadan standart detal olingan bo‘lishining shartli ehtimoli:
.
Izlanayotgan ehtimol tavakkaliga olingan detalning standart bo‘lish ehtimli to‘la ehtimol formulasiga asosan:
.
Misol. Birinchi qutida 20 ta radiolampa bo‘lib, ulardan 18 tasi standart; ikkinchi qutida esa 10 ta radiolampa bo‘lib, ulardan 9 tasi standart. Ikkinchi qutidan bitta lampa olinib, birinchi qutiga solingan. Birinchi qutidan tavakkaliga olingan lampaning standart bo‘lishi ehtimolini toping.
Yechish. A deb, birinchi qutida standart lampa olinganlik hodisasini belgilaymiz. Ikkinchi qutidan yo standart lampa olingan(B₁ hodisa) yoki nostandart lampa olingan (B₂ hodisa) bo‘lishi mumkin.
Ikkinchi qutidan standart lampa olish ehtimoli:
.
Ikkinchi qutidan nostandart lampa olish ehtimoli
.
Ikkinchi qutidan birinchi qutiga standart lampa olib qo‘yilganlik shartida birinchi qutidan standart lampa olinishining shartli ehtimoli quyidagiga teng:
.
Ikkinchi qutidan birinchi qutiga nostandart lampa olib qo‘yilganlik shartida birinchi qutidan standart lampa olinishining shartli ehtimoli quyidagiga teng:
.
Izlanayotgan ehtimol, ya’ni birinchi qutidan standart lampa olish ehtimoli to‘la ehtimol formulasiga asosan quyidagiga teng:
.

2.