Qovushoq suyuqlik gidrodinamikasi

QOVUSHOQ  SUYUQLIK  GIDRODINAMIKASI 

 

Quyida  Nyuton  qovushoq  suyuqligi  uchun  barcha  munosabatlar 

Nyutonning  ishqalanish  qonuni,  Furyening  issiqlik  o‘tkazuvchanlik 

qonuni,  ichki  momentlarsiz  holat  o‘rinli  deb  chiqarilgan,  nonyuton 

suyuqliklar haqida esa ba’zi tushunchalar keltirilgan. 

 

7.1. Qovushoq suyuqlik modeli 

 

Qovushoq  suyuqlik  harakatini  o‘rganishni  boshlashdan  avval 

«qovushoq  suyuqlik»  atamasi  nimani  anglatishini  tushuntirish  lozim 

bo‘ladi.  Matematik  nuqtai  nazardan  kuchlanish  uchun  bog‘lanish 

funksiyasini chiqarish, boshqacha aytganda, qovushoq suyuqlik modelini 

tuzish  kerak.  Bundan  keyingi  tushunchalarda  qovushoq  suyuqlik  deb 

quyidagi  uchta  gipotezalarni  qanoatlantiruvchi  suyuqliklarni  qaraymiz: 

chiziqlilik; birjinslilik va izotroplik. 

 

1) Chiziqlilik gipotezasi. xOy tekislikka parallel harakatlanayotgan 

suyuqlikka  Nyuton  qonunini  qo‘llaymiz  (7.1-rasm)  va  quyidagini 

yozamiz: 

z

u

x

zx











. 

Suyuqlik zarrachasining harakati haqidagi 

Gelmgolts  teoremasini  qarashdan  olingan 

natijalardan  foydalanamiz.  Teoremaga  ko‘ra 

Oy o‘qqa nisbatan burchak deformatsiya tezligi 

quyidagiga teng: 













x

u

z

u

z

x

y











2

1

. 

 

 

7.1-rasm. xOy tekislikka 

parallel harakatlanayotgan 

suyuqlikning sxematik 

tasviri 

Harakat  xOy  tekislikda  sodir  bo‘layotganligi 

uchun 

0



z

u

 va shunga ko‘ra 

z

u

x

y







2

1



, 

bu yerdan esa urinma kuchlanish quyidagiga teng: 

y

zx







2



.                                                 (7.1) 

Olingan  natija  Stoksning  ishqalanish  qonunini  ifodalaydi.  Bu 

qonunga  ko‘ra  suyuqlikda  hosil bo‘lgan  kuchlanish, qattiq  jismdagidan 

farqli,  deformatsiyalarning  o‘zlariga  emas,  balki  ularning  tezliklariga 

proporsional  va  ular  bilan  chiziqli  bog‘langan.  Bunda  proporsionallik 

koeffisienti o‘zgarmas va u 2



 ga teng. Bundan tashqari, Stoks qonuniga 

ko‘ra  urinma  kuchlanish,  yuqorida  ta’kidlanganidek,  burchak  deforma-

tsiyalar  tezliklariga,  normal  kuchlanishlar esa chiziqli  deformatsiyalar  (

x

u

x





, 

y

u

y





, 

z

u

z





)  tezliklariga  proporsional.  Shunday  qilib,  quyidagini 

yozamiz: 

















y

u

x

u

x

y

z

yx

xy



















2

; 

















y

u

z

u

z

y

x

zy

yz



















2

;                           (7.2) 

















z

u

x

u

x

z

y

zx

xz



















2

. 

Endi qovushoqlik kuchidan paydo bo‘ladigan normal kuchlanishlarni 

qaraylik.  Stoks  qonuniga  ko‘ra  ularni  kuchlanish  deviatorlari  shaklida 

yozish mumkin: 

x

u

x

xx









2



;  

y

u

y

yy









2



; 

z

u

z

zz









2



.                       (7.3) 

To‘la  normal  kuchlanish  shunisi  bilan  farq  qiladiki,  yuqorida 

yozilganlardan  tashqari,  xoh  qovushoq,  xoh  qovushoqmas  suyuqlik 

uchun,  statik  bosim  ham  ta’sir  qiladi.  Boshqacha  aytganda,  quyidagi 

munosabatlar o‘rinli: 

x

u

p

p

x

xx







2







; 

y

u

p

p

y

yy







2







; 

                               (7.4) 

z

u

p

p

z

zz







2







. 

Quyidagi  amalni  bajaramiz: 

xx

p

 miqdorning  uchlanganidan  ushbu 

zz

yy

xx

p

p

p





 yig‘indini ayiramiz. Bu quyidagini beradi: 



















x

u

p

p

p

p

p

x

zz

yy

xx

xx







6

3

3

u

x

u

z

u

y

u

x

u

p

x

z

y

x



div

2

6

2

3

























































. 

Bu yerdan esa  

3

div

3

2

2

zz

yy

xx

x

xx

p

p

p

u

x

u

p





















. 

Qovushoq suyuqlikdagi bosim sifatida ushbu  

3

zz

yy

xx

p

p

p

p









 

o‘rtacha  arifmetik  miqdorni  olamiz.  Natijada  kuchlanish  tenzorining 

normal 

xx

p

 komponentasi uchun quyidagi ifodaga kelamiz: 

u

x

u

p

p

x

xx



div

3

2

2

















;                               (7.5) 

Xuddi shunday 

u

y

u

p

p

y

yy



div

3

2

2

















;                              (7.5



) 

u

z

u

p

p

z

zz



div

3

2

2

















. 

Siqilmaydigan  suyuqlik  uchun 

0

div



u



 ekanligidan  (7.5)  ifodalar 

soddalashadi, ya’ni ulardan (7.4) ifodalar kelib chiqadi. 

Siqilmaydigan 

suyuqlik 

uchun 

kuchlanish 

tenzori 

komponentalarining 

z

r ,

,



 silindrik koordinatalari sistemasidagi ifodalari 

quyidagilar: 

  

 

r

u

p

p

r

rr







2







;                   















r

u

r

u

u

r

r

r





















1

; 

  

 

















r

u

u

r

p

p

r













1

2

;      































z

z

u

r

z

u

1

;  

z

u

p

p

z

zz







2







;                     













z

u

r

u

r

z

zr













. 

Xuddi  shunday,  siqilmaydigan  suyuqlik  uchun  kuchlanish  tenzori 

komponentalarining 





,

,

r

 sferik  koordinatalari  sistemasidagi  ifodalari 

quyidagilar: 

         

r

u

p

p

r

rr







2







;         

















r

u

u

r

p

p

r













1

2

; 

        



















r

ctg

u

r

u

u

r

p

p

r



















sin

1

2

;  

         















r

u

r

u

u

r

r

r





















1

;         















r

u

u

r

r

u

r

r























sin

1

;  

         















r

ctg

u

u

r

u

r





























1

sin

1

. 

 

2) Birjinslilik gipotezasi. Kuchlanishlar va deformatsiyalar tezliklari 

orasidagi  chiziqli  boglanish  ifodasi  suyuqlik  egallagan  fazoning  barcha 

nuqtalari uchun bir xil deb faraz qilinadi. 

 

3)  Izotroplik  gipotezasi.  Qovushoq  suyuqlik  izotrop  deb  faraz 

qilinadi, ya’ni uning xossalar ixtiyoriy yo‘nalishda bir xil.  

 

7.2. Qovushoq suyuqlikning harakat tenglamasi  

(Navye-Stoks tenglamasi) 

 

Qovushoq  suyuqlikning  harakat  tenglamasini  uning  (1.16) 

kuchlanishlarga  nisbatan  harakat  tenglamasidan,  ba’zi  almastirishlar 

bajarish yo‘li bilan, hosil qilish mumkin. Bu tenglamalarning faqat bitta 

proeksiyasini qaraymiz: 

















z

y

x

p

X

dt

du

zx

yx

xx

x



















1

. 

Qovushoq  suyuqlik  modelini  qarayotganda  ko‘rsatilgan  ediki, 

normal kuchlanishlar quyidagiga teng: 

u

x

u

p

p

x

xx



div

3

2

2

















. 

Soddalik  uchun  suyuqlikni  siqilmaydigan  (

0

div



u



)  deb  faraz 

qilaylik, u holda  

2

2

2

2

x

u

x

p

x

u

p

x

x

p

x

x

xx





































 





.                         (7.6) 

Urinma kuchlanishlar: 













y

u

x

u

x

y

yx













; 

2

2

2

y

u

x

y

u

y

u

x

u

y

y

x

y

x

y

yx



















































,                     (7.7) 

Xuddi shunday 

x

z

u

z

u

x

u

z

u

z

z

z

x

z

x

zx



































2

2

2

















.                   (7.8) 

(7.6), (7.7) va (7.8) larni yig‘sak va mos hadlarni guruhlasak, quyidagiga 

kelamiz: 































x

z

u

x

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

x

p

z

y

x

x

x

x





































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

. 

Bu ifodaning uchinchi hadini quyidagicha yozamiz: 

u

x

z

u

y

u

x

u

x

z

y

x



div







































, 

ammo  suyuqlik  siqilmaydigan  (

0

div



u



)  bo‘lganligi  uchun  quyidagini 

yozamiz: 

 



















2

2

2

2

2

2

1

z

u

y

u

x

u

x

p

X

t

d

du

x

x

x

x























.                           (7.9) 

Bunda  qavs  ichidagi  ifoda  Laplas  operatori  (

u



2



)  va 









 ekanligidan 

esa 

a

x

 = 













x

p

X

z

u

u

y

u

u

x

u

u

t

u

x

z

x

y

x

x

x























1













2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

x

x















. 

(7.10



) 

Bunda massaviy kuchlardan faqat og‘irlik kuchi ta’sir qilayapti, ya’ni 



cos

g

X



 (



cos

 yo‘nalishni  ko‘rsatadi)  deb  faraz  qilsak,  u  holda  bu 

tenglamaning  har  ikkala  tarafini 



    ga  ko‘paytirganda,  uning  har  bir 

hadiga 

quyidagicha 

mexanik 

ma’no 

beriladi: 

t

u

x







, 













z

u

u

y

u

u

x

u

u

x

z

x

y

x

x















 -  inertsiya  kuchlari; 





cos

g

 -  og‘irlik  kuchi; 

x

p





 - bosim kuchi; 













2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

x

x















 - qovushoq ishqalanish kuchi. 

Xuddi shunday boshqa ikkita proeksiyani ham yozish mumkin:  

   a

y

 = 













y

p

Y

z

u

u

y

u

u

x

u

u

t

u

y

z

y

y

y

x

y























1













2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

y

y

y















. 

a

z

 = 













z

p

Z

z

u

u

y

u

u

x

u

u

t

u

z

z

z

y

z

x

z























1













2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

z

z

z















.(7.10



) 

Shunday qilib, (7.10



) va (7.10



) formulalardan ushbu 

;

1

2

x

x

u

x

p

X

a

















 

;

1

2

y

y

u

y

p

Y

a

















                               (7.10) 

z

z

u

z

p

Z

a

2

1

















 

sistemaga ega bo‘lamiz. 

Hosil bo‘lgan (7.10) tenglamalar sistemasi qovushoq suyuqlik uchun 

Navye-Stoksning  tenglamalari  sistemasi  deb  ataladi.  Ularning  vektor 

shaklida yozilishi quyidagicha: 

u

p

F

a







2

grad

1













.                                   (7.11) 

Bu  yerdan  ko‘rinadiki,  bu  tenglama  ideal  suyuqlikning  harakat 

tenglamasidan  qovushoq  ishqalanish  kuchi  ta’sirini  hisobga  oluvchi 

ushbu 

u



2





 qo‘shimcha had bilan farq qiladi. 

Bu yerda ham, xuddi Eyler tenglamasidagi kabi, (7.11) tenglamadan 

bosimni  chiqarib  tashlash  mumkin.  Buning  uchun  uning  ikkala  tarafiga 

rot  operatsiyasini  qo‘llab,  hamda 

u

u

t

u

dt

u

d









)

(











 ekanligini  e’tiborga 

olsak, natijada: 

t





(rot

u



)=rot[

u



rot

u



]+





rot

u



. 

Bu  yerda  siqilmaydigan  suyuqlik  qaralayotganligi  ichun  bu 

tenglikning  o‘ng  tarafidagi  birinchi  hadini  ochib  chiqib  va 

u



div

=0 

ekanligini  e’tiborga  olib,  yuqoridagi  tenglamani  quyidagicha  yozish 

mumkin: 

t





(rot

u



) + (



u



) rot

u



 – ( rot

u







)

u



 = 





rot

u



. 

Agar  suyuqlikni  siqiluvchan  desak,  u  holda  (7.11)  Navye-Stoks 

tenglamasi quyidagicha yoziladi: 

grad

3

grad

2











 



















u

p

F

t

d

u

d







(

u



div

).                   (7.11′) 

Tezlikning  (6.15)  ifodasiga  ko‘ra  og‘irlik  kuchi  maydonidagi 

siqilmaydigan 

suyuqlik 

uchun 

Navye-Stoksning 

Gromeka-Lemb 

shaklidagi tenglamasi quyidagicha yoziladi: 

u

gh

u

p

u

t

u









2

2

2

1

2



































.                      (7.11′′) 

Siqilmaydigan  suyuqlik  uchun  Navye-Stoks  tenglamasining 

z

r ,

,



 

silindrik koordinatalari sistemasidagi ifodalari quyidagicha: 

  

 a

r

 =





















































u

r

r

u

u

r

p

r

u

u

u

t

u

r

r

r

r

2

2

2

2

1

)

(



; 

  a



 =





























































r

r

u

r

r

u

u

p

r

r

u

u

u

u

t

u

2

2

2

1

)

(



; 

  a

z

 = 

z

z

z

u

z

p

u

u

t

u

























1

)

(



, 

bu yerda    

z

f

u

f

r

u

r

f

u

f

u

z

r

























)

(



;     

2

2

2

2

2

1

1

z

f

f

r

r

f

r

r

r

f



































. 

Siqilmaydigan  suyuqlik  uchun  Navye-Stoks  tenglamasining 





,

,

r

 

sferik koordinatalari sistemasidagi ifodalari quyidagicha: 

   

   

;

sin

2

)

sin

(

sin

2

2

1

)

(

2

2

2

2

2









































































u

r

u

r

r

u

u

r

p

r

u

u

u

u

t

u

а

r

r

r

r

r



 

   

  

,

sin

cos

2

sin

2

1

)

(

2

2

2

2

2

2





















































































u

r

r

u

u

r

u

p

r

u

r

ctg

r

u

u

u

u

t

u

a

r

r



 

   

  

;

sin

2

sin

cos

2

sin

1

)

(

2

2

2

2

2

























































































r

r

u

r

u

r

r

u

u

p

r

u

u

r

ctg

r

u

u

u

u

t

u

a



 

bu yerda   































f

r

u

f

r

u

r

f

u

f

u

r

sin

)

(



; 

2

2

2

2

2

2

2

sin

1

sin

sin

1

1

























































f

r

f

r

r

f

r

r

r

f

. 

Gidrodinamik hisobning maqsadi – bu tezliklar maydoni va bosimni 

topishdan  iborat,  ya’ni  hisob  natijasida  ushbu 

x

u

, 

y

u

, 

z

u

 va  p  to‘rtta 

miqdorlar  topilgan  bo‘lishi shart.  Umuman  olganda,  buning  imkoniyati 

bor,  chunki  Navye-Stoksning  proeksiyalardagi  uchta  tenglamasi  va 

uzviylik  tenglamasi  birgalikda  yopiq  sistemani  tashkil  qiladi.  Ularga 

kirgan  zichlik  va  qovushoqlik  oldindan  ma’lum,  deb  hisoblanadi 

(umuman olganda, qovushoqlik koeffisientlari bosim va temperaturaning 

funksiyasi),  massaviy  kuchlarning  proeksiyalari  (X,  Y,  Z)  esa  aniq 

masalaning shartlarida berilgan bo‘ladi. 

Matematik nuqtai nazardan, Navye-Stoks tenglamasi ikkinchi tartibli 

xususiy hosilali nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi hisoblanadi. 

Bu  tenglamaning  asosiy  noqulayliklaridan  biri  –  uning  tezlanishning 

konvektiv  hadlarini  hisobga  oluvchi  nochiziqliligida.  Shuni  ta’kidlash 

lozimki,  hozirgi  paytgacha  birorta  ham  hol  uchramadiki,  Navye-Stoks 

tenglamasining  to‘la  ko‘rinishida  ya’ni  barcha  konvektiv  hadlar  va 

qovushoqlikni  hisobga  oluvchi  barcha  hadlar  saqlanib  qolganda,  uning 

umumiy  yechimini  chiqarishda  hal  etib  bolmaydigan  matematik 

qiyinchiliklar qolmasin. Faqatgina ba’zi xususiy yechimlargina ma’lum. 

Bu  tenglamani  integrallashda  asosiy  chegaraviy  shartlardan  biri  –  bu 

“yopishib qolish” sharti, ya’ni devorda suyuqlik tezligi nolga teng.