Рабочая тетрадь к лабораторной работе №19

3. Формула ПУАЗЕЙЛЯ.
Данная формула связывает внутренние трение жидкости или газа стационарно текущих по трубе, с геометрическими размерами трубы и разностью давлений на ее концах, являющейся причиной движения жидкости или газа по трубе.

Для вывода формулы Пуазейля рассмотрим стационарное (ламинарное) течение вязкой жидкости или газа по трубе. Ламинарным называется такое течение жидкости или газа, при котором движущаяся среда как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Турбулентным называется нестационарное течение, в котором скорость частиц в каждой точке пространства все время беспорядочно изменяется.
Мысленно выделим расположенный вдоль оси трубы цилиндр длиной и радиусом r (рис. 7а). Скорость жидкости или газа в разных точках сечения, трубы из-за присутствия силы внутреннего трения различна: она будет наибольшей на оси цилиндра и убывать по мере приближения слоев к стенкам цилиндра, поэтому изменение скорости можно характеризовать градиентом d /dr (рис. 7б). С внешней стороны на поверхность выделенного цилиндра действует сила вязкого трения, равная в соответствии с (15)
F_тр= ,
где величина поверхности S равна боковой поверхности цилиндра, т.е 2pr тогда
F_тр = . (17)

Так как движение жидкости или газа происходит в разных местах трубы с постоянной для этого места скоростью, то сила F_тр должна быть уравновешена силой F давления, вызывающей движение жидкости или газа и создающей перепад давлений Dp = p₁ - p₂ на торцах выделенного цилиндра, причем эта сила из определения давления равна:

F =Dp S = Dp p r². (18)
Из равенства выражений (17) и (18) следует, что
, или . (19)

Интегрируя (19), получаем

. (20)
Постоянная интегрирования С легко определяется из граничного условия: на стенке трубы (т.е. при r =R) скорость жидкости обращается в нуль =0 . Отсюда, С принимает значение
. (21)
С учетом ( 21) выражение (20) принимает вид:
. (22)
Из (22) видно, что скорости по сечению трубы меняются по квадратичному (параболическому) закону от нуля у стенок до максимальной скорости на оси трубы (рис. 7б)
.
Скорость течения жидкости или газа по трубе можно связать с количеством жидкости или газа, протекающих через все сечение трубы. Для этого разобьем сечение трубы на тонкие кольца радиуса r и шириной dr (рис.7в). Через площадь такого кольца dS = 2 p r dr за время dt протекает объем жидкости dV = dSd = 2prdr dt, а объем dQ, протекающий через эту элементарную площадку в единицу времени, будет равен:
dQ= . (23)
Подставив в (23) выражение для скорости (22), получим
dQ = . (24)
Интегрируя (24) в пределах от r = 0 до r = R, получим поток Q , т.е. объем жидкости или, газа протекающих через поперечное сечение трубы радиуса R в единицу времени:

Уравнение (25) называют формулой Пуазейля. Из нее следует, что поток сильно зависит от радиуса трубы, пропорционален перепаду давления на единице длины трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости h . Формулу Пуазейля используют для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q и по полученным данным вычисляют h.
За любое время t через поперечное сечение трубы пройдет объем жидкости или газа V, равный
V = = . ( 26)
Величины, входящие в формулу (26) позволяют очень просто по скорости истечения жидкости или газа измерять коэффициент вязкости h. Формулы (25) и (26) справедливы для ламинарного течения жидкости или газа и небольших давлений по сравнению с атмосферным. Для создания значительного перепада давлений Dp при небольших значениях давлений p₁ и p₂ удобно пользоваться трубкой с малым поперечным сечением, т.е. капилляром.
О характере течения жидкости или газа мощно судить по значе­нию числа Рейнольдса:
, (27)
которое является безразмерным числом, показывающим отношение кинетической энергии элемента движущихся жидкости или газа к работе А сил вязкого трения, т.е. характеризует относительную роль сил вязкости. Можно доказать, что с учетом течения жидкости или газа (22) и (26)
, (28)
где r - плотность жидкости или газа, ν - средняя скорость течения, R- радиус сечения.
Опыты показывают, что при значении Re < 10³ - течение можно считать ламинарным при Re > 2×10 ³ - турбулентным.