Raqamlar va sanoq tizimlari tarixi Knowledge Hypermarket. Sonlarning vujudga kelish tarixi va sanoq sistemasi

Raqamlar va sanoq tizimlari tarixi - Knowledge Hypermarket. Sonlarning vujudga kelish tarixi va sanoq sistemasi
Raqamlar va sanoq sistemalarini yozish tarixi odamlar orasida sanash paydo bo'lganidan beri davom etib kelmoqda. Odamlar turli xil ob'ektlar sonini serif yoki tire yordamida tasvirlagan. Ular o'sha paytda "qog'oz" bo'lib xizmat qilgan sirtlarga qo'llanilgan: loy tabletkalari, daraxt qobig'i yoki toshlar. Arxeologlar bunday yozuvlar haqidagi ilk ma’lumotlarni paleolit ​​davriga, ya’ni eramizdan avvalgi 10-11 ming yilliklarga bog‘laydilar.
Bunday yozish usuli birlik sanoq sistemasi deb ataladi. Barcha raqamlar chiziq chizig'i (yoki boshqa belgilar, masalan, nuqta) bilan ko'rsatilgan: qatordagi belgilar qancha ko'p bo'lsa, raqam shunchalik katta bo'ladi. Ushbu hisoblash tizimi qulay emas edi, chunki katta raqamlar bilan tayoqlar sonida xato qilish oson edi. Har safar ularni qayta hisoblash kerak edi.
Hisoblashni soddalashtirish uchun ob'ektlar 3, 5 va 10 birlikdan iborat kichik guruhlarga birlashtirila boshladi. Shu bilan birga, har bir guruh xatda o'z belgisi-belgisiga ega edi. Eng qulay hisob har doim barmoqlardagi hisob bo'lganligi sababli, birinchi bo'lib 10 va 5 birlikdan iborat ob'ektlarning kombinatsiyasi tayinlangan. Bu qulay sanoq sistemasiga asos solgan narsa.
Qadimgi yunonlar tomonidan qo'llanilgan tizim Attic deb nomlangan. Birinchi to'rtta raqam tire ichida yozilgan. Beshinchi raqam uchun "pi" belgisi bor edi, o'n raqami uchun - "deka" so'zining birinchi harfi. Yuz, ming va o'n ming yozma ravishda H, X, M deb belgilandi.
Bu tizim miloddan avvalgi III asrda Ion tizimiga almashtirildi. Undagi birdan to'qqizgacha bo'lgan raqamlar yunon alifbosining harflari bilan belgilangan: birinchidan to'qqizinchigacha. O'ndan o'n sakkizgacha bo'lgan harflar o'nta edi - o'ndan to'qsongacha. Va oxirgi to'qqiztasi yuzlab qayd etilgan - yuzdan to'qqiz yuzgacha.
Alfavit yordamida Sharqiy va Janubiy slavyanlar ham raqamlarni yozib olishdi. Ulardan ba'zilari slavyan alifbosidan foydalanganlar, har bir harfni raqamli qiymat bilan ta'minlaganlar. Boshqasi - faqat yunon alifbosida uchraydigan harflar. Harflarni raqamlardan ajratish uchun raqam ustiga qo'yilgan maxsus belgi - "titlo" ruxsat berilgan. Bu raqamlash Rossiyada 18-asrgacha ishlatilgan.
Pyotr I hukmronligining boshlanishi mamlakatga arab raqamlarini olib keldi, u hozirgacha qo'llaniladi. Biroq, liturgik kitoblar hali ham slavyan yozuv tizimidan foydalanadi.Har birimiz hech bo'lmaganda asrlar, yubileylar, konferentsiya nomlari, she'rlar va kitob bo'limlarini bildiruvchi "Rim tizimi" bilan tanishmiz. Aynan u bir vaqtlar qadimgi rimliklar tomonidan ishlatilgan. Tadqiqotchilar uni Rim aholisi etrusklardan qarzga olgan deb hisoblashadi. Ushbu tizimdagi 5000 gacha bo'lgan barcha butun sonlar I, V, X raqamlari yordamida yoziladi. Agar oldida katta son, undan keyin esa kichikroq raqam bo'lsa, ular qo'shiladi. Aksincha - kattasidan oldin kichikroq - ayiriladi. Xuddi shu raqam uch martadan ko'p bo'lmagan qatorga joylashtiriladi. Raqamlarning bunday yozuvida har qanday arifmetik operatsiya qiyin vazifaga aylanadi. Biroq 13-asrgacha Italiyada va 16-asrgacha Gʻarbiy Yevropa mamlakatlarida undan foydalanganlar.
Birinchi mahalliy yoki pozitsion raqamlash miloddan avvalgi 4000 yilda Bobilda "yaratilgan". Uning mohiyati shundaki, bitta raqam turgan joyga qarab turli xil raqamlarni anglatishi mumkin. Yorqin misol - zamonaviy o'nli tizim. Raqamdagi o'ringa qarab, raqam o'n, bir va yuzni bildirishi mumkin.
Bobil tizimi jinsi-kichik edi, chunki ular dastlab 10 emas, balki 60 ni asos qilib olganlar.Kamroq barcha raqamlar ikkita - o'nlik va birlik belgisi bilan yozilgan. Raqamlarning o'zi uchburchak tayoqchalar bilan loy lavhalarga yozilgan, shuning uchun ular takozga o'xshardi. Belgilar soniga qarab takrorlandi.
Seksagesimal tizim Qadimgi Bobildan tashqariga tarqalmagan, lekin jinsiy kichik fraktsiyalar O'rta Osiyo, G'arbiy Evropa, Yaqin Sharq va Shimoliy Afrika mamlakatlarida ishlatilgan. O'nli kasrlar paydo bo'lgunga qadar ular astronomiya va boshqa fanlarda muhim rol o'ynagan. Bugun biz bir daqiqani 60 soniyaga, bir soatni 60 daqiqaga, burchakni 360 darajaga bo'lish orqali ushbu tizimni eslatamiz.
Barcha sanoq sistemalarini shartli ravishda pozitsion va nopozitsion tizimlarga ajratish mumkin. Biz ularda raqamlarni yozish uchun ishlatadigan belgilar raqamlar deb ataladi.
Pozitsiyali bo'lmagan tizimlarda yozma sondagi raqamning o'rni u ko'rsatadigan qiymatga ta'sir qilmaydi. Bu, masalan, raqamlarni yozish uchun harflardan foydalanadigan tizimlar - slavyan va rim.
Pozitsion tizimlardagi raqamning o'rni unga yozilgan qiymatning qiymatini belgilaydi. Bunday holda, pozitsiya bu raqam raqamda egallagan joydir. Va yozish uchun ishlatiladigan raqamlar soni tizimning asosi deb ataladi. Bunday tizimga misollar bobillik kichik kichik va zamonaviy o'nli tizimdir.
Pozitsion tizimlar kam sonli belgilardan foydalanadi, bu esa katta raqamlarni yozishni osonlashtiradi. Shuning uchun bugungi kunda dunyoda ko'proq tarqalgan. Bundan tashqari, u raqamlar ustida arifmetik amallarni bajarishda qulaylik va soddalikni ta'minlaydi.
Bizning davrimizda hind-arab o'nli tizimi eng katta taqsimotni oldi. Raqamlarni yozishda birinchi marta nol paydo bo'ldi. U bu nomga ega, chunki u o'nta raqamdan foydalanadi.
Pozitsion tizim va nopozitsion tizim o'rtasidagi farqni tushunishning eng oson yo'li bitta va ikkinchisida yozilgan ikkita raqamni solishtirishdir. Birinchisi, raqamlarni bir xil joyda, chapdan o'ngga solishtiradi. Raqam qanchalik katta bo'lsa, qiymatning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi. Misol uchun, 245 soni 123 raqamidan katta bo'ladi, chunki bu pozitsiyadagi 2 1 dan katta. Nopozisiyaviy tizim uchun bu qonun qo'llanilmaydi. Agar biz Rim IX va VI ni solishtirsak, birinchisi ikkinchisidan katta bo'ladi, garchi men bir xil pozitsiyada V dan kichik bo'lsam ham.2 asosli ikkilik sanoq sistemasi butun sonli musbat pozitsion sanoq sistemasini ifodalaydi. Bu sizga ikkita belgidan foydalangan holda barcha raqamli qiymatlarni yozish imkonini beradi. Eng ko'p ishlatiladigan raqamlar 0 va 1.
Sakkizlik musbat pozitsion sistemaning asosi 8. Undagi istalgan sonni 0 dan 7 gacha boʻlgan raqamlar yordamida yozish mumkin. Bu tizim raqamli va kompyuter qurilmalarida qoʻllaniladi. Aynan u kompyuter davrining boshida ishlatilgan, ammo hozir o'z o'rnini yanada rivojlangan - o'n oltilik tizimga bo'shatib berdi.Dunyoda eng taniqli bo'lgan o'nlik sistema 10 asosli pozitsion tizimdir. U raqamlarni ko'rsatish uchun 0 dan 9 gacha arab raqamlaridan foydalanadi.Antik davrning eng mashhur tizimlaridan biri - o'n ikkilik - fanning ba'zi sohalarida hali ham qo'llaniladi. Bu, shuningdek, Tibet va Nigeriyaning ba'zi xalqlari orasida asosiy hisoblanadi, ammo boshqa madaniyatlarda o'zini eslatadi. Masalan, tilimizda “dozen” so‘zi saqlanib qolgan bo‘lsa, ingliz tilida “dozen” so‘zi bizni o‘n ikki raqamiga ishora qiladi. Uning asosi 12. Belgi sifatida A va B harflari hamda 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 raqamlari ishlatiladi.
O'n oltilik sanoq sistemasi - asosi 16 ta raqamdan iborat pozitsion pozitiv tizimni ifodalaydi. Uning raqamlari sifatida lotin alifbosining A, B, C, D, E, F harflari o'ndan o'n beshgacha bo'lgan raqamlarni va 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlarini belgilash uchun ishlatiladi. , 0.
Zamonaviy kompyuter dasturlarida shriftlarni kodlash uchun o'n oltilik sanoq tizimi qo'llaniladi. Ko'pgina zamonaviy kompyuter grafik dasturlaridagi o'n oltilik raqamlar ranglarni kodlaydi. Shuningdek, veb-dizaynerlar rangni o'n oltilik kod bilan shifrlaydi. Masalan, #00ff00 kodi yashil rangni bildiradi. Ushbu kodning o'rtasida joylashgan ikkita f harfi o'nli kasr tizimidagi 256 raqamiga to'g'ri keladi.
Kompyuterlar bilan ishlashda ko'pincha ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik sanoq tizimlari qo'llaniladi. Bu tizimlar bilan ishlashda odamlar ham, kompyuterlar ham ajoyib. Ammo ba'zi holatlar bizni kamroq mashhur raqam tizimlariga murojaat qilishga majbur qiladi. Bunday tizimlar 32-sonli asosli, sakkizinchi, uchlik va sanoq sistemalaridir. Ulardagi barcha arifmetik amallar odatdagilardan farq qilmaydi.
Tadqiqotimning maqsadi: Sanoq tizimlarining barcha turlarini ko'rib chiqish uchun matematik va tarixiy adabiyotlarni izlash. Vazifalar: 1) O'quv, ma'lumotnoma, uslubiy, ilmiy-ommabop va qiziqarli adabiyotlarni o'rganish. 2) Qadimgi sanoq sistemalarini solishtirish. 3) Qadimgi sanoq sistemalarining hozirgi zamonda qo`llanilishi bilan tanishish.
Qanday qilib odam hisoblashni o'rgangan? Ibtidoiy odamda katta miqdorlarni sanash zarurati yo'q edi. Shuning uchun hisob 2 yoki 3 ga yetdi - bu chegaradan oshib ketgan hamma narsa ibtidoiy odamga juda ko'p tuyuldi. Ikki raqami sifat jihatidan kelib chiqqan - juft qo'l, oyoq, ko'z va hokazo. Keyin almashishning rivojlanishi jarayonida tabiiy hisoblash standartlari paydo bo'ldi: beshta, - barmoqlarda, toshlarda, qobiqlarda va hokazo.
Qanday qilib odam hisoblashni o'rgangan? Shunday qilib, Malayziya orollaridan birining aholisi orasida raqamlarning belgilari quyidagicha: 1 - o'ng qo'lning kichik barmog'i, 2 - halqa barmog'i, 3 - o'rta barmoq, 4 - ko'rsatkich barmog'i, 5 - bosh barmog'i, 6 - qo'l, 7 - tirsak, 8 - yelka, 9 - quloq, 10 - o'ng ko'z, 11 - chap ko'z, 12 - burun, 13 - og'iz, 14 - chap quloq va boshqalar.
Qanday qilib odam hisoblashni o'rgangan? Rivojlanishning yuqori bosqichida odamlar hisoblashda turli xil narsalardan foydalanishni boshladilar. Shunday qilib, ba'zilar raqamni eslab qolish uchun toshlar, donalar, tugunli arqondan foydalanganlar, boshqalari tirqishli tayoqlardan (teglar), bir guruh novdalar, bir guruh qobiqlar, toshlar va hokazolardan foydalanganlar va zamonaviy yuqori tezlikda harakatlanishgan. elektron hisoblash mashinalari.

Sanoq sistemalarining rivojlanish tarixi.

Hisoblash, raqamlash - bu natural sonlarni ifodalash usullari to'plami. Har qanday sanoq sistemasida ba'zi belgilar (so'zlar yoki belgilar) tugun sonlar deb ataladigan ma'lum sonlarni belgilash uchun xizmat qiladi, qolgan raqamlar (algoritmik) tugun sonlaridan ba'zi amallar natijasida olinadi. Sanoq sistemalari tugun sonlarini tanlashda va algoritmiklarini shakllantirish usullarida farqlanadi, sonli belgilar uchun yozma belgilar paydo bo`lishi bilan sanoq sistemalari son belgilarining tabiati va ularni yozib olish tamoyillari bilan farqlana boshladi.
Raqamlarni ifodalashning eng mukammal printsipi pozitsion (mahalliy) printsip bo'lib, unga ko'ra bir xil raqamli belgi (raqam) joylashgan joyga qarab turli xil ma'nolarga ega. Bunday sanoq sistemasi ma’lum son n ta birlik (sanoq tizimining asosi) ikkinchi toifadagi bir birlikka, ikkinchi toifadagi n ta birlik uchinchi toifadagi bir birlikka birlashtirilishi va hokazolarga asoslanadi. Sanoq sistemalarining asosi birdan katta har qanday son bo'lishi mumkin. Bu tizimlarga zamonaviy oʻnlik sanoq sistemasi kiradi (bazasi n=10). Unda 0,1, ..., 9 raqamlari birinchi o'nta raqamni belgilash uchun ishlatiladi.
Bunday tizimning ko'rinib turgan tabiiyligiga qaramay, u uzoq tarixiy rivojlanish natijasi edi. O'nlik sanoq tizimining paydo bo'lishi barmoqlarda sanash bilan bog'liq. Boshqa asosli sanoq sistemalari ham mavjud edi: 5.12 (oʻnlab sanash), 20 (bunday tizimning izlari frantsuz tilida saqlanib qolgan, masalan, quatre - vingts, ya'ni tom ma'noda to'rt - yigirma, 80 degan ma'noni anglatadi), 40, 60 va hokazo. Hisoblashda Kompyuterlar ko'pincha 2 ta asosiy sanoq tizimidan foydalanadilar.
Ibtidoiy xalqlarda rivojlangan sanoq tizimi bo‘lmagan. 19-asrda Avstraliya va Polineziyadagi koʻpgina qabilalar faqat ikkita raqamga ega edi: bir va ikkita; ularning birikmalari sonlarni hosil qiladi: 3 - ikkita - bir, 4 - ikki - ikki, 5 - ikki - ikki - bir va 6 - ikki - ikki - ikki. 6 dan katta barcha raqamlar ularni individuallashtirmasdan "ko'p" deb aytildi. Ijtimoiy va iqtisodiy hayotning rivojlanishi bilan ob'ektlarning tobora ko'proq to'plamlarini belgilashga imkon beradigan va belgilashga imkon beradigan sanoq tizimlarini yaratish zarurati paydo bo'ldi. Eng qadimiy sanoq sistemalaridan biri miloddan avvalgi 2500-3000 yillarda paydo bo'lgan Misr ieroglif raqamlashidir. e. Bu o'nlik pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasi bo'lib, unda raqamlarni yozish uchun faqat qo'shish printsipi qo'llaniladi (qo'shni raqamlar bilan ifodalangan raqamlar qo'shiladi). Birlik uchun maxsus belgilar mavjud edi ▯ , o'n ⋓, yuz va boshqa o'nlik kasrlar gacha. 343 raqami quyidagicha yozilgan:
Shunga o'xshash sanoq tizimlari yunoncha Hirodiya, Rim, Suriya va boshqalar edi.
Rim raqamlari - bu o'nli kasrlar uchun maxsus belgilardan foydalanishga asoslangan raqamlarni belgilash uchun belgilar tizimining an'anaviy nomi:
1 5 10 50 100 500 1000
Miloddan avvalgi 500-yillarda paydo bo'lgan. e. etrusklar va qadimgi Rimda ishlatilgan; ba'zan bugungi kunda ishlatiladi. Bu sanoq sistemasida natural sonlar shu raqamlarni takrorlash orqali yoziladi. Shu bilan birga, agar katta raqam kichikroqning oldida bo'lsa, unda ular qo'shiladi (qo'shish printsipi), agar kichiki kattasining oldida bo'lsa, kattasidan kichiki ayiriladi. (ayirish printsipi). Oxirgi qoida faqat bir xil raqamning to'rt marta takrorlanishini oldini olish uchun amal qiladi. Masalan, I, X, C mos ravishda 9, 90, 900 ni ko‘rsatish uchun X, C, M dan oldin yoki 4, 40, 400 ni ko‘rsatish uchun V, L, D dan oldin joylashtiriladi.
Masalan, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (IIII o‘rniga), XIX=10+10-1=19 (XVIII o‘rniga), XL=50-10=40 (XXXX o‘rniga) ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 va hokazo.Bu sistemada ko‘p qiymatli sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish juda noqulay.
Yana rivojlangan sanoq tizimlari alifbo: ion, slavyan, ibroniy, arab, shuningdek, gruzin va arman. Birinchi alifbo sanoq sistemasi aftidan ioniy bo'lib, u Kichik Osiyodagi yunon koloniyalarida miloddan avvalgi V asr o'rtalarida paydo bo'lgan. e. Alifbo tartibidagi sanoq sistemalarida 1 dan 9 gacha bo‘lgan raqamlar, shuningdek, barcha o‘nliklar va yuzliklar odatda alifboning ketma-ket harflari bilan belgilanadi (sonlarni so‘zlardan farqlash uchun ularning ustiga tirelar qo‘yiladi).
222222222222222222222
Sanoq sistemalari haqida umumiy ma’lumot
Hozirgi kunda sanoq sistemasi informatika fanida juda muhim rol o'ynaydi.
Buyuk bobokalonimiz al-Xorazmiy o’zining “Hisob al-hind” asarida natural sonlarning o’nli sanoq sistemasida yozilishi va ular ustida qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish amallarini bajarish qoidalarini batafsil bayon etgan. Bu asar XII asr boshlarida lotin tiliga tarjima qilingan va undan Yevropa universitetlarida uzoq yillar davomida asosiy darslik sifatida foydalanilgan. Shu tariqa Yevropada o’nli sanoq sistemasi kirib kelgan. Yevropada al-Xorazmiy nomi “Algorizmi”, “Algoritmi”, “Algoritmus” tarzida qo’llanilgan. Xususan, hozirda tilimizga chuqur singib ketgan “algoritm” so’zi ham al-Xorazmiy nomidan olingan. Algoritm atamasining ma’nosi – biror ishni bajarishning ma’lum bir ketma-ketligi yoki qoidasini anglatadi.
Sanoq sistemasining turlari
O`rinli (pozitsion) sanoq sistemalari.
O`rinsiz (nopozitsion)
sanoq sistemalari
O`rinli (pozitsion) sanoq sistemalari.
O`rinli sanoq sistemasida raqamlar soni ma`lum miqdorda bo`lib, ular sondagi o`rinlariga qarab turli qiymatni aks ettiradi. Masalan, bizga ma`lum bo`lgan
10 lik sanoq sistemasida 10 ta raqam: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
8 lik sanoq sistemasida 8 ta raqam: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
2 lik sanoq sistemasida 2 ta raqam; 0, 1;
16 lik sanoq sistemasida 16 ta raqam: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F mavjud. Odatda, 16 lik sanoq sistemasida yetishmaydigan raqamlar o`rniga lotin alifbosining bosh harflari: A, B, C, D, E, F lar qo`llaniladi.
O`rinsiz (nopozitsion) sanoq sistemalari
O`rinsiz sanoq sistemasiga qadimgi rim sanoq sistemasi misol bula oladi. Bu sanoq sistemasida sonlarni yozish uchun lotin harflari ishlatiladi, ya`ni I harfi har doim birni , V harfi beshni, X-o`nni, L-ellikni, C-yo`zni, D-besh yo`zni, M-mingni va boshqalar. Bu sanoq sistemada 267 soni CCLXVII ko`rinishda ifodalanadi. Bu sanoq sistemasida har bir harf har doim bir xil sonni ifodalaydi. Shuning uchun ham katta sonlarni yozishda yangi - yangi harflarni kiritishga to`g`ri keladi. Qancha yangi harf kiritmaylik shunday sonni uylab topish mumkinki, uni mavjud harflar yordamida ifodalash murakkablashib ketadi.
Sanoq sistemasi — bu, sonlarni belgilangan miqdoriy qiymatga еga bo‘lgan belgilar asosida nomlash va tasvirlash usulidir. Sonlarni tasvirlash usuliga bog’liq ravishda sanoq sistema pozitsion va nopozitsion bo‘ladi.
Sanoq sistеmasining alfavitida 10 ta arab raqamlari yetishmasa, raqamlarni ifodalash uchun harflardan foydalaniladi. Hisoblash tеxnikasida 2 lik, 8 lik, 16 lik sanoq sistеmalari kеng foydalanilganligi uchun biz ham asosan shu sanoq sistеmalarida ish olib boramiz.
Sanoq sistemalari:
2-0,1
3-0,1,2
4-0,1,2,3
….
8-0,1,2,3,4,5,6,7
9-0,1,2,3,4,5,6,7,8
10-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
11-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
….
16-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
17-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G
….
35-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y
36-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z
X(2) lik sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemalariga o‘tish
3 2 1 0
1 0 0 1
1. Misol. 1001(2)→X(3)
1-qadam 1001(2)→ X(10) =1•20+0•21+0•22+1•23=910
2-qadam X(10)→X(3) 9:3=3 0 Demak natija 1003
3:3=1 0
1:3=0 1
Xuddi shunday 2 likdan sanoq sistemasidan 3,4,5,6,7,8,9,10,11,…..36 lik sanoq sistemalariga o‘tish mumkin
X(8) lik sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemalariga o‘tish
2. Misol. 50(8)→X(2)
1-qadam 50(8)→ X(10) =0•80+5•81=4010
2-qadam X(10)→X(2) 40:2=20 0 Demak natija 101000(2)
20:2=10 0
10:2=5 0
5:2=2 1
2:2=1 0
1:2=0 1
Xuddi shunday 8 likdan sanoq sistemasidan 2,3,4,5,6,7,9,10,11,…..36 lik sanoq sistemalariga o‘tish mumkin
Misol