Расчёт комплексной передаточные функции электрических цепей

Определение комплексных функций электрических цепей

Пусть на вход цепи, представляющей собой четырёхполюсник (рис. 10.1), воздействует гармоническое колебание  комплексная амплитуда которого 
Реакция  будет полностью определяться частотными свойствами самого четырёхполюсника. Поскольку цепь линейная, то частота гармонического колебания  не изменится, а вот амплитуда реакции  и начальная фаза реакции  будут отличаться от амплитуды  и начальной фазы воздействия  что ясно хотя бы из рассмотрения частотных свойств элементов индуктивности и ёмкости.
Особый интерес представляет соотношение вход/выход, которое отображает частотные свойства цепи, показывающие, каким образом откликается цепь на конкретное гармоническое колебание. Изучение частотных свойств цепи можно провести, например, с помощью схемы, показанной на рис. 10.2, а: на входе цепи действует генератор гармонических колебаний, к её выходу подключён осциллограф, а параллельно цепи подключён фазометр.
Будем последовательно подавать на вход электрической цепи различные гармонические колебания известной частоты  амплитуды  и с произвольной начальной фазой  Обычно при измерениях амплитуду гармонических колебаний устанавливают постоянной  которую можно без потери общности результатов принять за 1. Все дальнейшие измерения будем производить при условии установления колебаний, т. е. в режиме установившихся колебаний.
Измеряя с помощью осциллографа амплитуду колебания  на выходе цепи, построим график зависимости амплитуды от частоты  (рис. 10.2, б). Эту характеристику называют амплитудно-частотной характеристикой цепи.
С помощью фазометра измерим разность между начальной фазой гармонического колебания на входе  и фазой соответствующего гармонического колебания на выходе  , и построим график (рис. 10.2, в) частотной зависимости  разности начальных фаз реакции и воздействия. Такую характеристику называют фазочастотной характеристикой цепи.

Однако такая процедура выявления частотных свойств цепи, во-первых, трудоёмка и, во-вторых, не позволяет получить общий характер частотных зависимостей произвольной цепи. В то время как знание закономерностей изменения реакции цепи от частоты позволяет точно определить возможность передачи по этой цепи сигнала, распределённого по частоте, т. е. занимающего некоторую область частот от  до 
Очевидно, что отношение вход/выход, т. е. отношение реакции к воздействию, наиболее просто выразить через отношение комплексных амплитуд гармонического воздействия и гармонической реакции, поскольку комплексные амплитуды содержат амплитуду и начальную фазу гармонического колебания.
Определение:
Комплексной частотной характеристикой цепи  (КЧХ) называется отношение комплексной амплитуды реакции  к комплексной амплитуде воздействия  в установившемся режиме (рис. 10.1):
(10.1)
Размерность комплексной частотной характеристики зависит от того, какие величины (напряжения или токи) выбраны в качестве реакции и воздействия (рис. 10.3).


В связи с этим различают следующие виды КЧХ (табл. 10.1), смысл которых ясен из смысла входящих в них реакций и воздействий: безразмерные  и  имеет размерность проводимости, а  — размерность сопротивления.
По определению (10.1) комплексная амплитуда реакции равна произведению комплексной передаточной функции воздействия на комплексную частотную характеристику цепи:
(10.2)
Как и всякая комплексная функция, КЧХ может быть записана как в показательной
(10.3)
так и в алгебраической форме
(10.4)

Это отношение также называют комплексной передаточной функцией или комплексным коэффициентом передачи.

Найдём выражения для модуля  и аргумента  комплексной функции (10.3) и (10.4), которые являются функциями частоты, поэтому амплитуды и начальные фазы также являются функциями частоты:  ,  При этих условиях имеем:
(10.5)
Полученное соотношение позволяет определить важнейшие частотные характеристики линейных цепей: амплитудно-частотную (модуль (10.5)) и фазочастотную (аргумент (10.5)). Дадим определения этим характеристикам.
Определение:
Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)  , называется частотная зависимость отношения амплитуды гармонической реакции к амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме:
(10.6)
Определение:
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ)  называется частотная зависимость разности начальных фаз гармонической реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме:

Эти же характеристики нетрудно определить из алгебраической формы представления КЧХ (10.4):

откуда АЧХ
(10.8)
и ФЧХ
(10.9)
Среди комплексных частотных характеристик выделяют комплексные входные функции-.
□ функцию входного сопротивления
(10.10)
□ функцию входной проводимости
(10.11)
Из определений частотных характеристик следуют важные выводы:

• 
  комплексная частотная характеристика содержит в себе амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики цепи;
  
• 
  комплексная частотная характеристика цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи на воздействие, описываемое единичной гармонической функцией 
  
• 
  частотные характеристики электрической цепи зависят только от параметров самой цепи и не зависят от воздействия.