Расчёт комплексной передаточные функции электрических цепей

Расчёт частотных характеристик

Расчёт частотных характеристик при известном воздействии  осуществляется в следующем порядке:

1. 
   Рассчитывается комплексная амплитуда реакции 
   
2. 
   Определяется комплексная частотная характеристика (КЧХ) заданной цепи согласно (10.1).
   
3. 
   Записывается выражение для АЧХ как модуль КЧХ согласно (10.6) или (10.8) и строится график АЧХ.
   
4. 
   Записывается выражение для ФЧХ как аргумент КЧХ согласно (10.7) или (10.9) и строится график ФЧХ.
   

В качестве примера рассчитаем частотные характеристики последовательной RС-цепи (рис. 10.4).


Задача 10.1.
Воздействием на последовательную RС-цепь является напряжение  Найти выражения и построить графики для КЧХ, АЧХ и ФЧХ цепи для двух случаев:
реакцией является ток в цепи 
реакцией является напряжение на ёмкости 

Решение.
Реакцией является ток в цепи 
Рассчитаем комплексную амплитуду тока:

Определим комплексную частотную характеристику как отношение комплексной амплитуды тока к комплексной амплитуде напряжения воздействия:
(10.12)
Полученное соотношение говорит о том, что в данном случае КЧХ имеет размерность проводимости.
Исходя из (10.12), запишем выражение амплитудно-частотной характеристики:

(10.13)

которая представляет собой полную частотно зависимую входную проводимость цепи (рис. 10.5, а).

Запишем выражение для ФЧХ как аргумент КЧХ, который согласно (10.5) и (10.7) можно представить в виде разности аргументов числителя и знаменателя КЧХ (10.12):

но аргумент числителя равен:

аргумент знаменателя равен:

поэтому ФЧХ цепи (рис. 10.5, б), когда в качестве реакции принят ток, имеет вид:
(10.14)
□ Реакцией является напряжение на конденсаторе   Тогда вновь по определению КЧХ имеем:

эта КЧХ является безразмерной величиной и часто называется комплексным коэффициентом передачи по напряжению.
Из формулы КЧХ (10.15) нетрудно получить выражения для АЧХ (рис. 10.5, в)

и ФХЧ (рис.10.5, г)

Таким образом, задача решена.
Комплексная частотная характеристика, как было отмечено ранее, содержит в себе АЧХ и ФЧХ цепи и поэтому может быть представлена графически в виде годографа (рис. 10.6), если её записать в алгебраической форме (10.4) и учесть соотношения (10.8) и (10.9).
На годографе каждому значению частоты со соответствует свой вектор, модуль которого равен АЧХ, а фаза — ФЧХ цепи. Годограф строят для частот со в диапазоне от 0 до  На рис. 10.6 представлен годограф комплексной частотной характеристики (10.15).
Годограф построен по точкам следующим образом:
на частоте  т. е. точка лежит на вещественной оси, её координата (1, 0);

на частоте  т. е. точка лежит в начале координат (0, 0);
величина  при этом

Аналогичным образом вычисляются интересуемые точки; направление перемещения конца вектора указывают стрелкой в сторону увеличения частоты. Иногда годограф КЧХ называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи.