Распределение электронов по энергетическим уровням

4. Энергетические зоны

Уменьшение высоты потенциальных барьеров при сближении атомов (рисунок 4.1.1) приводит к тому, что валентные электроны в металле перестают быть локализованными в конкретном атоме, а переходят от одного атома к другому. Может показаться, что такие переходы приводят к нарушению принципа Паули и в любой момент в атоме может оказаться несколько электронов с одинаковой энергией. Однако при образовании кристалла происходит не только уменьшение высоты потенциального барьера, но и качественное изменение энергетических уровней электронов в атомах. Воспользуемся соотношением неопределенности энергии-времени , где  время нахождения электрона в энергетическом состоянии, характеризующемся интервалом энергии от E до E+ΔE. Величина ΔE определяет ширину энергетического уровня, если известно время пребывания на нем электрона. В изолированном атоме время Δt сколь угодно велико, поэтому ΔE исчезающе мало.

В кристалле скорость движения электронов V * 10⁵ м/с, поэтому около данного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с. Приняв это значение времени за Δt, получим ширину энергетического уровня ΔE * 1 эВ. Такой результат свидетельствует о том, что при образовании кристалла энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону (рисунок 4.1.2). Эффект расщепления энергетических уровней на зоны для металлического натрия и элементов IV группы таблицы Менделеева (алмаз, кремний и германий) показан на рисунке 4.1.2 под буквой в.



Рисунок 4.1.1 Расщепление энергетических уровней на зоны



Рисунок 4.1.2 Образование энергетических зон: а - в металлическом натрии; б - в элементах IVгруппы элементов; в - алмаз, кремний и германий [89].

Следовательно, при образовании кристалла возникает система энергетических зон. Однако энергетическая зона – это не непрерывный ряд значений энергии электронов, а система близких друг к другу дискретных уровней энергии.

Если обобществленные электроны достаточно сильно связаны с атомом, то их потенциальную энергию можно представить как , где − потенциальная энергия электрона в изолированном атоме, а ΔU – поправочный член, учитывающий влияние соседних атомов.
По мере сближения изолированных атомов и образования из них решетки каждый атом попадает во все возрастающее поле своих соседей. Каждый из уровней атома расщепляется на N подуровней, где N – количество атомов в кристалле. При ширине уровня 1 эВ и количестве атомов в 1 см³, равном 10²³ атомов/см³, расстояния между подуровнями чрезвычайно малы, и такую область можно рассматривать как энергетическую зону с квазинепрерывным спектром энергетических состояний. Следовательно, моноэнергетический уровень расщепляется в энергетическую зону, получившую название зоны разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий отделены друг от друга зонами запрещенных энергий.
Выясним физический смысл существования запрещенных зон. Рассмотрим одномерную решетку (линейную цепочку одинаковых атомов) с периодом а. В этом случае распределение электронов по энергиям можно изобразить в виде приведенной зонной диаграммы (рис. 9.5). Это распределение характеризуется разрывом при значениях волнового числа , что и создает область запрещенных энергий. В одномерном случае формула Вульфа-Брэггов принимает вид


.(4.1.3)

Первые отражения возникают при условии, что , и первая зона запрещенных энергий (энергетическая щель) оказывается соответствующей именно этим значениям волнового числа. Последующие энергетические щели возникают при следующих положительных и отрицательных значениях k. Отражение при возникает вследствие того, что волны, отраженные от соседних атомов в цепочке, усиливаются в результате интерференции, причем разность фаз при данном значении волнового числа k будет составлять . Область пространства волновых векторов (k-пространство) между значениями и , в этом примере носит название первой зоны Бриллюэна. Внутри зоны Бриллюэна энергия квазинепрерывна, а на границах она имеет разрыв.

Как было показано в параграфе, 9.1 на амплитуду волновой функции свободного электрона, в периодическом поле ионных остовов кристаллической решетки накладывается дополнительное условие: она не остается постоянной, а периодически изменяется или, иначе говоря, модулирована с периодом решетки. Волновая функция электрона в этом случае имеет вид блоховской функции (4.1.3). Исходя из зонного характера энергии электрона, можно утверждать, что внутри каждой разрешенной энергетической зоны энергия электрона Eявляется периодической функцией волнового вектора (рисунок 4.1.4).