Распространение новых или инвазивных видов является центральной темой экологии, и значительные исследования были посвящены лучшему пониманию природы такого распространения

4. Асимптотическое поведение
Сначала приведем некоторые сведения.
Определение 4.1. (Гл.8, п.1). Пара функций называется квазимонотонной невозрастающей в , если не возрастает по для фиксированных и невозрастающей по для фиксированных ; это удовлетворяет , в задаче (1.1)-(1.9) для , .
Нижние и верхние решения обозначим через и , соответственно и они удовлетворяют

Лемма 4.1. (Принцип сравнения). Предположим, что , и удовлетворяющие

,



.
где , . Если , , для и для , то для решений задачи (4.1) выполняются



Положим , и . То мы имеем





Теперь докажем, что
.
Итак, пусть и .
Тогда и для достаточно малых . Предположим, что существует такое, что
или

Мы докажем случай \eqref {l1}. Поскольку , при , то
. Из \eqref {l3} и условия Стефана следует, что .
Теперь сравним с и с .
Сделаем замены
и . Для этих функций получим задачу
,
,


,
.
где коэффициенты - ограниченные функции, и неотрицательные функции.
Отсюда следует

при достаточно большом .
Так как . Тогда в силу теоремы Хопфа должно быть т.е что противоречит (4.5). Таким образом, получаем (4.2).