Распространение новых или инвазивных видов является центральной темой экологии, и значительные исследования были посвящены лучшему пониманию природы такого распространения

Теорема 4.1. Пусть , , , является решением задачи (1.1)-(1.9). Если
( ), то ( ).
Доказательство. Мы докажем случай . Используя \eqref {1}-\eqref {9}, имеем

Предполагаем, что существуют и , как и при , такое что
, ... .
Так как существует подпоследовательность и , такая что при . Утверждается, что . Если , то при . Используя (4.6) получим

где . Это противоречие, так как .
В силу (4.6), существует такое что и

для всех больших . Так как при , отсюда следует, что для всех . Пусть

Очевидно, . Введем


где и - положительные константы, которые будут выбраны ниже, и

Понятно, что и для что означает в .
Теперь мы сравним и всюду в . Согласно (2.1)-(2.3) следует, что

С другой стороны

Таким образом, если положительные константы и могут быть выбраны независимо от , так что
,
выведем, что для применяя принцип сравнения с и . Поскольку и , то . Из-за и имеем

Замечая, что , получим

что означает при . Это противоречит , поэтому

Теперь мы докажем, что если и удовлетворяет
,

то (4.7) выполняется для всех больших . Итак мы имеем . Поскольку и получим





В силу (4.9) имеем .
Поскольку при , можем разложить , где


Очевидно, что при , и при . Из , и в , с учетом (4.8), (4.9), заключаем, что

при , и

при .

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Kr} {\it Кружков~С.\,Н.} Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. ММО."--- 1967."--- {\sl 16}, \No~4."--- С.~329--346.

\bibitem{Lad} {\it Ладыженская~О.А., Солонников~В.\,А., Уральцева~Н.\,Н.} Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа."--- М.: Наука, 1967."--- 736 с.

\bibitem{Frid} {\it Фридман~А.} Уравнения с частными производными параболического типа."--- M.: Мир, 1968."--- 428 с.

\bibitem{Aron} {\it Aronson~D.G., Weinberger~H.F.} Nonlinear diffusion in population genetics, combustion and nerve pulse propogation // Partial Differential Equations and Related Topics. Lecture Notes in Mathematics "---1975."--- {\sl 446}."--- C.~5--49.

\bibitem{Cant} {\it Cantrell R.S, Cosner C.} Spatial ecology via reaction-diffusion equations."---England: Wiley, 2003."--- P. 428.

\bibitem{Cil} {\it Ciliberto~C.}

Formule di maggiorazione e teoremi di esistenza per le soluzioni delle equazioni paraboliche in due variabili
// Ricerche di Matem."---1954."--- {\sl 82}."--- C.~40-75.

\bibitem{DuLin} {\it Du~Y., Lin~Z.G.} Spreading-vanishing dichotomy in the diffusive logistic model with a free boundary // SIAM J.Math.Anal."--- 2010."--- {\sl 42}."--- C.~377--405.

\bibitem{DuLin2014} {\it Du~Y., Lin~Z.G.} The diffusive competition model with a free boundary: invasion of a superior or inferior competitor // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B."--- 2014."--- {\sl 19}."--- C.~3105-3132.

\bibitem{Gu} {\it Gu~H, Lin~Z. G and Lou~B. D.} Long time behavior for solutions of Fisher-KPP equation with advection and

free boundaries // J. Funct. Anal."---2015."---{\sl 269}."--- C.~1714-1768.

\bibitem{Guo12} {\it Guo~J.S., Wu~C.H.} On a free boundary problem for a two-species weak competition system // J Dyn Diff Equat."--- 2012."--- {\sl 24}."--- C.~873--895.

\bibitem{Guo15} {\it Guo~J.S., Wu~C.H.} Dynamics for a two-species competition-diffusion model with two free
boundaries // Nonlinearity."--- 2015."--- {\sl 28}."--- C.~1--27.

\bibitem{Lock} {\it Lockwood M.F, Hoopes M. F., Marchetti M. P.} Invasion Ecology."---Oxford: Blackwell Publishing, 2013."--- P. 444.

\bibitem{Pao} {\it Pao~C.V.} Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum Press."--- 1992. P. 777.

\bibitem{Ras} {\it Takhirov~J.O., Rasulov~M.S.} Problem with free boundary for systems of equations of reaction-diffusion type // Ukr. Math. J."--- 2018."--- {\sl 69}."--- C.~1968--1980.

\bibitem{RenX} {\it Ren~X., Liu~L.} A weak competition system with advection and free boundaries // J.Math.Anal.Appl."--- 2018."--- {\sl 463}."--- C.~1006--1039.

\bibitem{Shig} {\it Shigesada~N., Kawasaki K.} Biological Invasions: Theory and Practice, Oxford Series in Ecology and Evolution Oxford: Oxford University Press."--- 1997. P. 224.

\bibitem{Takh} {\it Takhirov~J.,O.} A free boundary problem for a reaction-diffusion equation in biology // Indian J. Pure Appl. Math."--- 2019."--- {\sl 50}."--- C.~95--112.

\bibitem{WangWang} {\it Wang~R., Wang~L., Wang~Zh.} Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term // J. Math.Anal.Appl."--- 2018."--- {\sl 467}."--- C.~1233--1257.

\bibitem{WangZhao} {\it Wang~M., Zhao~J.} Free Boundary Problems for a Lotka-Volterra Competition System // Jour. Dyn.Differ. Equ."--- 2014."--- {\sl 26}."--- C.~1--21..

\bibitem{WangZhang} {\it Wang~M., Zhang~Y.} Two kinds of free boundary problems for the diffusive prey-predator model // Nonlinear Anal. Real World Appl."--- 2015."--- {\sl 24}."--- C.~73--82.

\bibitem{WU} {\it Wu~C.-H.} The minimal habitat size for spreading in a weak competition system with two free boundaries // J.Differential Equation."---2015."--- {\sl 259}."---C.~873-897.

\end{thebibliography}

\end{document}....