Распространение новых или инвазивных видов является центральной темой экологии, и значительные исследования были посвящены лучшему пониманию природы такого распространения

Априорные оценки
В этом разделе установим некоторые априорные оценки шаудеровского типа, которые будут использованы при доказательстве глобальной разрешимости задачи. При этом широко применяются принцип максимума и теоремы сравнений.
Прежде всего установим ограниченность функции , , , . Далее устанавливаются априорные оценки для старших производных.
Теорема 2.1. Если функции , , , являются решением задачи (1.1)-(1.9), то справедливы оценки
, (2.1)
,
,
,
где ,
.
Доказательство. Сначала докажем положительность функции . Возьмем некоторую произвольную точку такую, что . В этой точке правая часть (1.1) должна быть равна нулю. А также в этой точке функция достигает своего минимальная значения. Отсюда по сильному принципу максимума для всех и получаем противоречие относительно условия . Полученное противоречие доказывает, что в .
Доказательство положительности аналогично.
Чтобы получит верхние оценки поступаем следующим образом. Построим вспомогательную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:


Её решение дается следующей явной формулой:

Используя лемму 4.1, сравнивая с получим
.
Далее, с учетом условия (1.6) и положительности функции в области , находим . Следовательно, из (1.7) получим .
Для того, чтобы установить верхнюю оценку для , в задаче (1.1), (1.3), (1.5), (1.6), производя замену

и получаем задачу относительно



За счет выбора всюду в имеем . Следовательно, с учетом (2,5) находим , что эквивалентно .
Рассуждая аналогичным образом, мы получим оценки (2,3) и (2,4).
Первоначальные оценки получены. Теперь, используя результаты работы [1], установим априорные оценки производных и .
Для каждого уравнения системы отдельно сформулируем соответствующую задачу:
,
,
,
,
и
,
,
,
,
Сначала получим априорные оценки для . В силу граничных условий (2,6) -(2,9) мы не можем использовать результаты работы [1]. Поэтому введем следующее преобразование

чтобы выпрямить свободную границу. Тогда область преобразовывается область , а ограниченная функция является решением задачи
,
,
,
где
, , , .
Уравнение (2,14) удовлетворяет условиям теоремы 3 работы [1]:
.
Следовательно имеет место: