Ratsional sonlar to'plami va uning xossalari, ratsional sonlar to'plamining kesimi, irratsional son tushunchasi, haqiqiy sonlar to'plamining asosiy xossalari. Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari

Ratsional sonlar to'plami va uning xossalari, ratsional sonlar to'plamining kesimi, irratsional son tushunchasi, haqiqiy sonlar to'plamining asosiy xossalari.
Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari.
Ushbu qisqarmaydigan kasr ko’rinishida tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar to’plami Q harfi bilan belgilaymiz.
Yuqorida p va n sonlar 1 dan boshqa umumiy bo’luvchilari yo’qligini (p,n)=1 belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib, Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyidagi ta’rifga ekvivalent: cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida tasvirlanadigan har qanday son ratsional son deyiladi. Ravshanki, Shuni takidlash lozimki, to’plamdagi bir xil elementlar uning bitta elementi sifatida olinganidek Q to’plamda ham bir-biriga teng bo’lgan ratsional bitta element deb qaraladi. Ratsional sonlar to’plami Q ham butun sonlar to’plami kabi tartiblangan. Ratsional sonlar to’plamidagi eng kichik element ham, eng katta element ham mavjud emas. Ratsional sonlar to’plamida qo’shish, ayirish, ko’paytirishdan tashqari bo’lish (nol bo’lmagan songa) amali ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan quydagi xossalar o’rinlidir.
( bu xossalarda t,s va r lar ixtiyoriy ratsional sonlar.)
1⁰. Kommutativlik: r+t=t+r, rt=tr 2⁰.Assotsiativlik: (r+t)+s=r+(t+s), (r·t)·s=r·(s·t)
3⁰. Distributivlik: (r+t)·s=r·s+t·s 4⁰. Nol sonining xususiyati: r+0=r, r·0=0
5⁰. Bir sonining xususiyati: r·1=r 6⁰. Qarama-qarshi elementning mavjudligi: uchun shunday soni mavjudki, r+(-r)=0 bo’ladi. 7⁰. Teskari elementning mavjudligi: soni uchun shunday son mavjudki r·r^-1=1 bo’ladi.
8⁰. sonlar uchun r>t bo’lganda r+s>t+s bo’ladi.
9⁰. sonlar uchun r>t bo’lganda r·s>t·s bo’ladi.
10⁰. Ixtiyoriy ikki musbat r va t ratsional sonlar uchun shunday natural son n mavjudki n·r>t bo’ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi ham deb yuritiladi.
Elementlari sonlardan iborat bo‘lgan to‘plam sonli to‘plam deyiladi. Son matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, uzoq tarixiy rivojlanish yo‘liga ega. Narsalarni, buyumlarni sanash zaruriyati tufayli natural sonlar paydo bo‘lgan. Matematikaning taraqqiyoti ratsional sonlarning va keyinchalik irratsional sonlarning kiritilishini taqozo etgan. Ratsional sonlar to‘plami va irratsional sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plami deb atalgan. Shunday qilib, sonli to‘plamlar hosil qilingan, bu yerd barcha natural sonlar to‘plami; barcha butun sonlar to‘plami; barcha ratsional sonlar to‘plami; barcha haqiqiy sonlar to‘plami. Har qanday ratsional son yoki chekli o‘nli kasr bilan yoki cheksiz davriy o‘nli kasr bilan ifodalanadi. Masalan, ratsional sonlar. Ratsional bo‘lmagan haqiqiy sonlarga irratsional sonlar deyiladi. Irratsional son cheksiz davriy bo‘lmagan o‘nli kasr bilan ifodalanadi. Masalan, irratsional sonlar. Shunday qilib, haqiqiy sonlar to‘plamini barcha cheksiz o‘nli kasrlar to‘plami deyish va kabi yozish mumkin, bu yerda Haqiqiy sonlar to‘plami quyidagi asosiy xossalarga ega bo‘ladi. to‘plam tartiblangan to‘plamdir, ya’ni istalgan ikkita har xil va sonlar uchun (yoki ) tengsizlik bajariladi. to‘plam zichdir, ya’ni istalgan ikkita har xil va sonlar orasida tengsizlikni qanoatlantiruvchi cheksiz ko‘p haqiqiy sonlar mavjud bo‘ladi;
to‘plam uzluksizdir.