Разрешение линейных систем с использованием интервальной

---

Разрешение линейных систем с использованием интервальной
арифметики и разложения Холецкого
для решения линейной системы с интервальными коэффициентами.
1
Ганесан и Вирамани предложили новую интервальную арифметику
для IR. Мы распространяем эти арифметические операции на
множество обобщенных интервальных чисел D и включаем понятие
двойственности.
Пусть IR = {a = [a1;a2] : a1 a2 и a1,a2 R} множество всех
собственных интервалов и IR = {a = [a1;a2] : a1 > a2;a1,a2 R}
множество всех неправильных интервалов на прямой R. Если a1 = a2
= a, то a = [a,a] = a — действительное число (или вырожденный
интервал). Мы будем использовать термины «интервал» и «число
интервалов» взаимозаменяемо. Середина и ширина (или полуширина)
интервала с номером a = [a1,a2] равны a2 a1 . Обозначим
Однако интервальная арифметика в том виде, в каком мы ее знаем
сегодня, была разработана в основном в 20 веке при важном вкладе
таких математиков, как Карл Менгер, Джордж Данзигер и Рамон Мур.
В 1960-х и 1970-х годах интервальный алгоритм претерпел период
бурного развития, а вычислительные методы и практические
приложения продолжали совершенствоваться.
2
«Двойственный» — это важный одноместный оператор, предложенный
Каухером , который меняет местами концы интервалов в D. Для a =
[a1,a2] D его двойственный оператор определяется равенством
dual(a) = dual([a1 ,a2]) = [a2,a1]. Противоположностью интервала a
= [a1,a2] является opp([a1,a2]) = [ a1, a2], который является
1
а b=[m(a) m(b) k; [m(a) m(b)+k] и k = min (m(a) m(b)
α;β(m(a) m(b))
1
Интервальная арифметика — увлекательный раздел математики,
который фокусируется на свойствах числовых интервалов и
управлении ими. Хотя на первый взгляд интервальная арифметика
может показаться абстрактной или даже скучной, она находит
практическое применение во многих областях: от компьютерных наук
до технических наук, физических наук и экономики. Это позволяет
манипулировать интервалами, а не точными числами. Этот математический
,
Интервальная арифметика восходит к 17 веку, когда такие
математики, как Джон Уоллис, начали исследовать свойства
интервалов и действительных чисел. В течение следующих нескольких
столетий интервальная арифметика стала самостоятельным разделом
математики при участии таких математиков, как Жозеф Фурье, Герман
Ганкель и Анри Пуанкаре.
дисциплина позволяет формальным и строгим образом представлять
неопределенности, неточности или ошибки измерения. Кроме того,
интервальная арифметика предлагает другой подход к сложным
математическим задачам, в которых задействованные величины
являются неопределенными или их трудно оценить точно, что может
привести к более глубокому пониманию концепций и поиску
инновационных решений.
инверсия [a1,a2], если 0 [a1,a2].
То есть a+( dual(a)) = [0, 0] и a× = [1, 1]. двойной (а)
2
аддитивная обратная [a1,a2] и
Для a = [a1;a2] , b = [b1;b2] D и для {+; ;×;÷} определим :
и ш(а) =
Итак, у нас есть:
Аннотация Методы решения линейных систем с интервальными
коэффициентами составляют важный математический аппарат, а
также для обработки данных и моделирования реальных систем,
которые могут быть адаптированы к задачам бесконечной
неопределенности параметров и контроля ошибок округления в
расчетах. С помощью операции интервальной арифметики
предлагается вычислительный алгоритм, основанный на разложении
Холецкого, который позволяет решать линейные системы с коэффициентами, являющимися интервалами.
определяется как m (a) =
набор обобщенных интервалов (собственных и неправильных) с помощью:
1
Множество обобщенных интервалов D является группой относительно
операций сложения и умножения нулевых свободных интервалов
при сохранении монотонности включения.
D = IR IR = {[a1;a2] : a1,a2 R}
α и β — конечные точки интервала a и b
В этой статье мы обсудим разложение Холецкого .
является мультипликативным
а1 а2
а1 + а2
1. Введение
2 Интервальная арифметика
2.1 Элементарные операции над интервалами
Ключевые слова Арифметический интервал, Интервальная матрица,
Система интервальных линейных уравнений, Разложение Холецкого.
Machine Translated by Google

---

Разложение Холецкого
3 Решение системы A X=B с помощью
1
3.1.2 Критерий Сильвестра:
.
Если A — квадратная матрица с интервальным коэффициентом, симметричным
и положительно определенным, то существует нижняя треугольная матрица с
интервальным коэффициентом F, которая удовлетворяет условию:
2
Рассмотрим симметричную интервальную матрицу
; m(a) k m(a)+k 1 a2
a1 a2 a1
Это разложение, называемое факторизацией Холецкого, является
произведением нижней треугольной матрицы F на ее транспонирование.
.
.
a2 + a1 a2 + a1, если 0
не принадлежит интервалу [a1;a2]
.
записывается в виде:
3.2 Разложение Холецкого
.
а+b=[a1;a2]+[b1;b2]=[m(a)+m(b) k; [m(a)+m(b)+k] (b2 + a2)(b1 + a1)
а = [ а1; а2]
1
.
Транспонированием квадратной матрицы A является матрица интервальных
коэффициентов, обозначаемая как: AT , полученная путем перестановки
строк и столбцов
матрицы A Симметричная матрица с интервальным коэффициентом:
Симметричная матрица A представляет собой квадратную матрицу,
которая равна своей транспонированной матрице, т.е. такое, что ai,j = aj,i
для всех i и j между 1 и n, где ai ,j — коэффициенты интервальной матрицы,
а n — ее порядок.
[-1,5;-0,5]
[3,7; 4,3]
[-1,5;-0,5]
Пусть A — квадратная матрица порядка n и интервального коэффициента
такая, что:
.
Если a = [a1;a2] положительно, мы определяем a как
1
.
.
А =
2
a b=[a1;a2][b1;b2]=[m(a) m(b) k; [m(a) m(b)+k] (b2 + a2)(b1 + a1)
2.2 Интервальные матрицы
"="
Ясно, что в этих обозначениях имеем a× a = a
|[3,7; 4.3]| = [3,7; 4,3] > 0
[3,7; 4,3] [-1,5;-0,5]
[-1,5;-0,5] [3,7; 4.3]
.
.
a×b=[a1;a2]×[b1;b2]=[m(a)×m(b) k; [m(a)×(b)+k] , где k = min(m(a)×m(b)
α,β(m(a)×m(b)) α = min(a1b1,a1b2, a2b1,a2b2) и β =
max(a1b1,a1b2,a2b1,a2b2)
а
2
.
An,n Bn,n=[0; 0] если А = В
Пусть A — симметричная квадратная матрица с интервальным
коэффициентом размера n. Назовем главными минорами
определители n матриц Ap = (ai j) для значений p от 1 до n.
от случая матриц с интервальными коэффициентами разве что
определитель неинтервальной матрицы в интервале.
"="
где к =
и
[3,7; 4,3]
[-1,5;-0,5] [0;
0]
2.2.1 Определения
2.2.2 Определитель матрицы интервальных коэффициентов
[0;
0] [-1,5;-0,5]
[3,7; 4.3]
.
.
а
также, если а = b , то
3.1 Положительно определенная матрица и критерий Сильвестра
Давай проверим
.
.
Критерий Сильвестра обеспечивает простой метод проверки
положительной определенности матрицы A.
Легко видеть, что большинство свойств определителя классической
матрицы справедливы и для определителя интервальной матрицы.
и
.
Т А = ФФ
Для любой квадратной матрицы А с интервальным коэффициентом
соответствует значение, называемое определителем матрицы А ,
отмеченным de t(A), способ вычисления определителя остается прежним.
Также, если a = b , то [a1;a2] = [b1;b2] и
[a1;a2][b1;b2] = [0; 0]
[3,7; 4,3] [-1,5;-0,5] [0; 0] [-1,5;-0,5] [3,7; 4,3]
[-1,5;-0,5] [0; 0] [-1,5;-0,5] [3,7; 4.3] если A является
положительно определенной квадратной
симметричной матрицей с использованием критерия Сильвестра : Мы имеем:
к = мин
= [37,10; 74,89] > 0
.
• An,n.Bn,n =
.
An,n =
[а1;а2]
1
.
"="
= [11,94; 18.06] > 0
.
.
3.1.1 Определения
= [1; 1]
б
Матрица квадратного интервала An,n определяется как матрица, которая может быть
; а1
.
Таким образом, A является симметричным положительно определенным.
.
где
где к =
Чтобы симметричная матрица с интервальным коэффициентом A
размера n была положительно определенной, необходимо и достаточно,
чтобы n главных миноров Ap были строго положительными интервалами.
1
3.1.3 Пример 1:
.
.
an,1 an,2 ··· an,n
An,n = (ai,j) 1 i n,1 j n
ай,к .бк,j
н
a2,1 a2,2 ··· a2,n
к=1
1 i n,1 j n
a1,1 a1,2 ··· a1,n
1пн
а2
Если An,n и Bn,n интервальные матрицы и α R, то: • αAn,n =
α(ai,j) 1 i n,1 j n
•An,n +Bn,n
= (ai ,j +bi,j)1 i n,1 j n • An,n Bn,n=
(ai,j bi,j)1 i n,1 j n, если A B , и
a1,1 a1,2 ··· a1,n
a2,1 a2,2 ··· a2,n
an,1 an,2 ··· an,n
,
Machine Translated by Google

---

Так :
:
Последствия
[0;
0] [-1,56;-0,42]
[3,08; 4,67]
Эти операции зависят только от входных значений, и нет цикла или
рекурсии, которые повторяют операции в соответствии с размером
входных данных, поэтому они имеют постоянную сложность, которая
равна O (1). Напротив, функция, вычисляющая корень положительного
интервала, имеет сложность O(log ( n)), потому что эта функция
использует функцию "sqrt()" из библиотеки < NumP y > для вычисления
квадратного корня числа.
0
симметричная матрица A = [ 1,5; 0,5] [3,7; 4,3]
[-1,5;-0,5]
[ 9;
0] [ 3; 0]
Х=
Мохамед Хиер с помощью исключения Гаусса
.
0
.
Шаг 2 : Разложите A как F×FT, используя разложение Холецкого.
FT X = Y , поэтому X =
ай, дж —
"="
Т :
2 выполнены n
[-1,52;-0,45]
[3,15; 4,64]
[-1,56;-0,42]
Сложность функции зависит главным образом от сложности
основных арифметических операций (суммирование, вычитание,
умножение...).
результат находят Нин и др., используя
0
и В=
[ 1,776; 0,006]
.
.
Решение системы AX = B состоит из следующих шагов: Шаг 1 :
Проверить,
является ли A положительно определенной симметричной матрицей,
используя критерий Сильвестра.
0
4.2 Сравнение результатов:
). В каждой итерации цикла основные арифметические
операции и функция, вычисляющая корень положительного интервала,
вызываются несколько раз, но всегда с интервалами одинакового
размера, поэтому их сложность не меняется. В сумме сложность
функции холецкого порядка O(n
[3,60; 4,27]
[-1,52;-0,45] [0;
0]
Возьмем [3,7;
4,3]
[-1,5;-0,5] [0;
0]
Сложность разложения Холецкого
[ 6,38; 1.12]
[ 14; 0]
положим FT X = Y и решим систему FY = B, найдем:
результат находка Каркар Нора - Бен
Пусть A и B — две матрицы с интервальными коэффициентами.
.
.
[-3,9; 0]
0
1
Шаг 5 : Решите систему FT X = Y.
Самый внутренний цикл функции, вычисляющей разложение Холецкого,
выполняется n раз, где n — размер матрицы A. Промежуточный цикл
выполняется n 1 раз. Таким образом, сложность двойной петли
порядка O(n
результат находят Нин и др. , используя Гаусса
Фн,н =
А
[ 6,54; 0]
Х=
.
[ 4,53; 0]
Шаг 4 : Решите систему FY = B.
Х=
Если A - квадратная матрица порядка 3, удовлетворяющая всем
условиям, то интервальные коэффициенты матрицы F определяются
формулой:
Техника Хансена
[ 4,482; 0]
[-3,816; 0]
и би,j =
Y=
.
F =
l og (n)), потому что циклы
умножаются, а функция, вычисляющая корень
положительного интервала, вызывается на каждой итерации цикла с
числом, размер которого порядка n .
Шаг 3 : Мы устанавливаем FT X = Y.
[ 3,40;
0] устранение
4.1 Применение
Решение системы A X = B
F×FT
Алгоритм расчета
[ 3,40; 1.40]
3
в примере 1 мы показали, что A = симметрично положительно
определена, поэтому мы можем разложить ее как произведение
треугольной матрицы путем ее транспонирования, используя
разложение Холецкого [ 1.9; 2,07] [0; 0] [0;
0] [-0,76;-0,24] [1,76; 2,06] [0; 0] [0; 0]
[-0,8;-0,24] [1,74; 2.06]
.
Разрешение системы AX = B состоит в том, чтобы решить FT X = Y.
.
[-1,76; 0]
[ 6,38; 0.]
[-6,40; 1.32]
Мы можем заметить, что:
Чтобы решить линейную систему, включающую интервальные
матрицы, мы стремимся найти наименьший интервальный вектор,
содержащий набор векторов X , такой, что существуют точечные
матрицы A A и B B , и мы имеем равенство Ax = B.
···
[0;
0] [-1,5;-0,5]
[3,7; 4.3]
[ 7,05; 0]
[ 6,40; 1,54]
Заметим, что метод Холецкого с арифметикой интервалов дает более
точные результаты и очень близкие
.
[ 3,35; 0]
ция.
.
Если F нижняя треугольная матрица с интервальным коэффициентом,
удовлетворяющая условию A = FF
4 Применение и сравнение
0 б2,1 б2,2 ···
(b3,2)
a3,1
b3,1 =
b1,1
a3,2 b3,1 × b2,1
b3,2 =
b2,2
b3,3 = a3,3 (b3,1)
б1,1
2
2
b1,1 = a1,1
a2,1
b2,1 =
b1,1
b2,2 = a2,2 (b2,1)
2
Ь, Й
б1,1
2
2
б3,1 б3,2 б3,3
б2,1 б2,2
j 1 j 1 bi,k .bj,k, если ij и bj,j = aj,j (bj,k )
к=1
2
bn,1 bn,2 ··· bn,n
к=1
Machine Translated by Google

---

:
Х = АКС + Z
В = (Я - А) =
,
де т (В)
[6,61; 19.33]
Таким образом, разложение Холецкого является важным методом решения
линейных систем с интервальными коэффициентами, поскольку оно гарантирует
положительное определение матрицы, гарантирует, что решение также
является интервалом, и может решить систему эффективно и численно
устойчиво.
"="
по сравнению с другими.
В модели Леонтьева используется матрица затрат-выпуска, также известная как
«матрица затрат-выпуска», которая показывает количество каждого продукта,
необходимого для производства одной единицы каждого конечного продукта.
[9,71; 19,98]
4
с [0;
0] [0;
0]
[0,8; 0,9]
[-0,3;-0,2]
[0,8; 0,9]
[-0,3;-0,2]
"="
Пусть • X : матрица производства • A :
матрица внутреннего потребления • Z : матрица
экспорта • I : единичная
матрица
Симметричная матрица «затраты-выпуск» — это матрица, в которой
количество каждого конечного продукта, необходимого для производства
единицы, одинаково независимо от рассматриваемого конечного продукта.
Чтобы определить уровень производства каждого сектора, мы должны решить
систему BX = Z
5.3 Матрица «затраты-выпуск» с интервальным коэффициентом
[0,8; 0,9] [-0,3;-0,2] [-0,2;-0,1] [-0,3;-0,2] [0,6; 0,7]
[-0,3;-0,2] [-0,2;-0,1] [-0,3;-0,2] [0,6; 0,7]
Использование критерия Сильвестра
Ставим:
5.1 Модель Леонтьева
"="
Находим: Х=
[-0,3;-0,2] [0,6;
0,7]
5.2 Симметричная матрица ввода-вывода
5.4 Применение
Х = АХ + Z Z = (I - А)Х
= [0,4; 0,58] > 0 И
имеем:
"="
Если коэффициенты матрицы «затраты-выпуск» заменены интервалами
вместо точных числовых значений, это означает, что точные количества
каждого продукта, необходимые для производства одной единицы каждого
конечного продукта, неизвестны или неопределенны. Интервалы могут
представлять диапазон возможных значений или неопределенность в
отношении точных необходимых величин. В этом случае интерпретация
матрицы «затраты-выпуск» должна быть изменена соответствующим образом.
Вместо того, чтобы представлять точные количества, матрица затрат-выпуска
представляет качественные отношения между отраслями и продуктами.
Интервальные коэффициенты можно использовать для проведения анализа
чувствительности или моделирования для оценки влияния различных
неопределенностей на экономику. Например, изменяя интервалы, можно
определить, как изменения в выпуске одной отрасли влияют на общий выпуск
и другие отрасли. Однако результаты, полученные с помощью матрицы
«затраты-выпуск» с интервальными коэффициентами, могут быть менее
точными, чем результаты, полученные с помощью
Симметричная матрица «затраты-выпуск» представляет собой экономику, в
которой все отрасли в равной степени взаимосвязаны и взаимозависимы.
Другими словами, каждая отрасль зависит от других отраслей в производстве
собственной продукции, и каждая отрасль также вносит свой вклад в
производство других отраслей, что может иметь больший мультипликативный
эффект в экономике. Действительно, сбой в одной отрасли может повлиять на
всю экономику, поскольку каждая отрасль тесно связана с другими отраслями.
Модель Леонтьева помогает анализировать межотраслевые производственные
и экономические связи в экономике. Модель предполагает, что каждая отрасль
использует комбинацию товаров и услуг, произведенных другими отраслями,
для производства своих собственных товаров и услуг.
Эта матрица используется для расчета межотраслевых связей и
мультипликативных эффектов в экономике. Модель Леонтьева можно
использовать для оценки влияния сбоев на отдельные отрасли или на
экономику в целом. Его также можно использовать для оценки воздействия
экономической политики, такой как политика промышленного развития или
торговая политика.
матрица с точными числовыми коэффициентами. Поэтому важно учитывать
допустимую погрешность, связанную с интервалами, при интерпретации
результатов, полученных с помощью этой матрицы.
[-0,3;-0,2] [0,6;
0,7]
[-0,3;-0,2] [-0,2;-0,1] [0,6; 0,7]
[-0,2;-0,1]
[-0,3;-0,2]
Применяя алгоритм, получаем: F × FT B
[0; 0] [0,7; 0,8]
[-0,22;-0,11] [-0,5;-0,27] [0,57; 0,78]
Разложение Холецкого — это численно устойчивый метод эффективного
решения линейных систем с интервальными коэффициентами. Это также
уменьшает количество операций, необходимых для решения системы, по
сравнению с другими методами, такими как методы Гаусса-Джордана и Хансена.
[0,89; 0,94]
[-0,33;-0,21]
В симметричной матрице «затраты-выпуск» диагональные элементы
представляют долю общего объема выпуска, которую каждая отрасль использует
для производства своего собственного продукта. Недиагональные элементы
представляют количество каждого продукта, необходимое для производства
одной единицы каждого конечного продукта.
Для определения уровня производства решаем систему
= [0,12; 0.33] > 0
Матрица B подтверждает критерий Сильвестра, поэтому допускает разложение
Холецкого.
[3,15; 13,85]
|[0,8; 0,9]| = [0,8; 0,9] > 0
Рассмотрим таблицу «затраты-выпуск» (табл. 1) для этой экономической
системы с 3 отраслями А, В и С, где коэффициенты представлены интервалами:
5 Приложение в модели ввода-вывода
(IO)
6. Заключение
Ф
Machine Translated by Google

---

АА [0,1 ;0,2]
В
[0,2 ;0,3]
[0,3 ;0,4]
[0,2 ;0,3]
*****
Z
[7;9]
[2;3]
[0;0]
Таблица 1. Таблица «затраты-выпуск»
С [0,1 ;0,2]
С
[0,1 ;0,2]
[0,2 ;0,3]
[0,3 ;0,4]
В [0,2 ;0,3]
[4] Т. Нирмала, Д. Датта, Х. С. Кушваха, К. Ганесан: О решении системы
интервальных линейных уравнений.
Многослойный интервальный анализ, Springer, стр. 17-27.
[1] Лефельд, Герцбергер, Дж. Введение в интервальные вычисления.
Академическая пресса, Нью-Йорк, 1983.
[7] Мур, Р.Е., Кирфотт, Р.Б., Клауд, М. 2009, Введение в интервальный анализ,
SIAM, Филадельфия.
[2] Люк Жолен, Мишель Киффер, Оливье Дидри и Эрик Уолтер: Ap
Журнал прикладных инженерных исследований, том 10, номер 6 (2015),
стр. 15777-15797.
[6] Э. Хансен, Г. Вальстер, Глобальная оптимизация с использованием
интервального анализа (MarcelDekker, Inc., Нью-Йорк, 2004).
Space IR, Computing, Suppl., 2, pp. 33-49.
[3] Каркар Нора, Бенмохамед Хиер, Бартиль Аррес: Решение линейных систем
с использованием подхода интервальной арифметики. Международный
журнал научных и инженерных исследований, том. 1, выпуск 1, февраль
2012 г. 29—33.
[5] Каучер, Э., 1980, Интервальный анализ в расширенном интервале.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
5
Machine Translated by Google