Решение Легко заметить, что функция

Задание 1

Согласно варианту разложить в частичный ряд Фурье для k = 0, 1, 2,…,6 два заданных сигнала x1(t) и x2(t). Сигнал x1(t) задан на всей числовой оси, найти его период. Сигнал x2(t) задан на указанном отрезке, при разложении считать, его период равен длине отрезка. Найти спектры сигналов x1(t) и x2(t).
Для каждого сигнала построить его график, графики разложений и спектры.
x1(t)= |sin(2t-4)| (абсолютная величина)

Решение

Легко заметить, что функция sin(2t-4) имеет период . Учитывая, что функция имеет модуль, то период функции сокращается вдвое, т.к. функции лишается отрицательного полупериода: .

Построим график функции x1(t):

Рис.1 – График функции x1(t).

Для сигнала x1(t) довольно трудно найти первообразную для нахождения коэффициентов ряда Фурье, поэтому мы напишем программу для вычисления интеграла на языке C++ , воспользуемся методом прямоугольников.

Метод прямоугольников является самым простым и эффективным метом вычисления интегралов. В качестве опорной точки для нахождения высоты возьмем точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

где .

Метод прямоугольников был реализован в Borland C++ Builder 6. Функция, вычисляющая сразу два интеграла с косинусом и синусом, имеет следующий вид:

void CalcIntCS(const int n, float& fys, float& fyc)

{
const float T = M_PI/2; // период
const int iter=100; // Число итераций
const float h = T/iter; // Шаг итерации

fys = 0;
fyc = 0;

for(float x=-T/2+h/2; x<=T/2; x+=h)

{
fys += fabs(sin(2*x-4))*sin(2*M_PI/T*n*x); // функция с sin
fyc += fabs(sin(2*x-4))*cos(2*M_PI/T*n*x); // функция с cos
}
fys = fys*2/T*h;
fyc = fyc*2/T*h;

}
Вызов функции в основном теле программы и отображение полученных результатов:

float fys,fyc;

char str [40];
CalcIntCS(0,fys,fyc);
sprintf(str,"a0 = %*.*f;",10,5,fyc);
Form1->Memo1->Lines->Add(str);

for(int k=1;k<=6;k++)

{
CalcIntCS(k,fys,fyc);
sprintf(str,"a%d = %*.*f; b%d = %*.*f;",k,10,5,fyc,k,10,5,fys);
Form1->Memo1->Lines->Add(str);
}

Для расчета коэффициентов ряда Фурье мы воспользовались следующими формулами:

Рассчитанные коэффициенты заносим в среду моделирования MATLAB. В ней мы построим графики и оценим правильность расчета ряда Фурье. Исходный код программы:

t = 0:0.01:pi/2;

T = pi/2;

Y = abs(sin(2*t-4));

a0 = 1.27323;
a1 = 0.06176; b1 = -0.41991;
a2 = 0.08130; b2 = 0.02444;
a3 = -0.01544; b3 = 0.03295;
a4 = -0.01687; b4 = -0.01116;
a5 = 0.00859; b5 = -0.00959;
a6 = 0.00570; b6 = 0.00686;

d0 = a0/2;

d1 = a1*cos(2*pi/T*t)+b1*sin(2*pi/T*t);
d2 = a2*cos(2*pi/T*2*t)+b2*sin(2*pi/T*2*t);
d3 = a3*cos(2*pi/T*3*t)+b3*sin(2*pi/T*3*t);
d4 = a4*cos(2*pi/T*4*t)+b4*sin(2*pi/T*4*t);
d5 = a5*cos(2*pi/T*5*t)+b5*sin(2*pi/T*5*t);
d6 = a6*cos(2*pi/T*6*t)+b6*sin(2*pi/T*6*t);

D = d0+d1+d2+d3+d4+d5+d6;

figure;
plot(t,Y,t,d1,t,d2,t,d3,t,d4,t,d5,t,d6,t,D);

grid on;
legend('Y','1','2','3','4','5','6','full');

Формула, используемая нами для разложения в ряд Фурье для n=0..6:

Графики функции Y и суммы всех членов ряда Фурье полностью на рис.2:

Рис.2 – Ряд Фурье для N=6

Разложение в ряды Фурье функции

Период функции согласно условиям T=5. Найдем коэффициенты рядов, решив ряд интегралов:










Расчеты произведем в MATLAB:

t = 2:0.01:5;

T = 3;

dn = zeros(6,length(t));

dn1 = zeros(6,length(t));
dn2 = zeros(6,length(t));

d01 = -4/3;

d02 = 4/3;

d0 = d01 + d02;

for n=1:6

dn1(n,:) = (2*sin(4/3*pi*n)/pi/n) * cos(2*pi/T*n*t)+ ...
((cos(4/3*pi*n)-cos(8/3*pi*n))/pi/n) * sin(2*pi/T*n*t);
dn2(n,:) = (2*(sin(10*pi*n/3)-sin(8*pi*n/3))/pi/n)* cos(2*pi/T*n*t)+ ...
(2*(cos(8*pi*n/3)-cos(10*pi*n/3))/pi/n)* sin(2*pi/T*n*t);
dn(n,:)= dn1(n,:) + dn2(n,:);
end

D1 = d01/2+dn1(1,:)+dn1(2,:)+dn1(3,:)+dn1(4,:)+dn1(5,:)+dn1(6,:);

D2 = d02/2+dn2(1,:)+dn2(2,:)+dn2(3,:)+dn2(4,:)+dn2(5,:)+dn2(6,:);

D = d0/2+dn(1,:)+dn(2,:)+dn(3,:)+dn(4,:)+dn(5,:)+dn(6,:);

Построим графики всех разложений:

Рис.3 – Ряд Фурье для t от 2 до 4

Рис.4 – Ряд Фурье для t от 4 до 5

Рис.5 – Ряд Фурье для t от 2 до 5