Referat bajardi: otajonava xojarxon tekshirdi: mo’ydinov xusniddin oltinko’l 2023-y

1-ta’rif. Aniqlanish sohasi natural sonlar to’plami N dan iborat bo’lgan funktsiya sonli ketma-ketlik deyiladi.
Boshqachi aytganda, har bir natural n songa biror qoida yoki qonunga binoan aniq bitta x_n son mos qo’yilagan bo’lsa, u holda sonli ketma-ketlik berilgan deyiladi.

desak, sonli ketma-ketlikka ega bo’lamiz.
- ketma-ketlikning 1-hadi, -2-hadi, ... , -ketma-ketlikning n -hadi yoki umumiy hadi deyiladi. Ketma-ketlik ( ) orqali belgilaylik. Ba’zi adabiyotlarda { } orqali belgilanadi.
1-misol.
1.
2.
3. -1,1,-1,1,...,

Ketma-ketlikning limiti.¹Bizga ketma-ketlik berilgan bo’lsin.

2-ta’rif. Agar har bir son uchun shunday mavjud bo’lib, n>n₀ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha n larda tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda a son ( ) ketma-ketlikning limiti deyiladi.
Limit yoki ko’rinishlarda belgilanadi. ( ) interval a nuqtaning atrofi deyiladi.
Endi ketma-ketlik limitining boshqacha tahrifini keltirib chiqaramiz:



1.2.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari
1⁰. Agar x_n =a va a>p (a bo`lsa, y holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub> >p (x<sub>n</sub> bo`ladi.
Isbot. a>p bo`lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. x<sub>n</sub>=a bo`lganidan >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ larda
a- _n bo`ladi. dan a- >p bo`lib, x_n>p ekanligi kelib chiqadi.
( a hol ham shu kabi qaraladi).
Natija. Agar x_n=a va a>0 (a<0) bo`lsa, u holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>0 (x<sub>n</sub><0) bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo`lsin, bunda a. Haqiqiy sonlar to`plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo`lib, a bo`ladi. x_n=a, a bo`lganligi uchun biror n<sub>1</sub> nomerdan boshlab, x<sub>nn</sub>=b, b>r bo`lganligi uchun biror n₂ nomerdan boshlab x_n>r bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub> va x<sub>n</sub>>r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, yani M son mavjud bo`lib, barcha n lar uchun | x_n | tengsizlik o`rinlidir.
Isbot. x<sub>n</sub>=a bo`lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab a- _n tengsizlik o`rinli bo`ladi. |x₁|, |x₂|, …, | |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x_n| ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x_n) ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.
1. Agar barcha n lar uchun x_n=y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a=b bo`ladi.
Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun x_n>y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a b bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik a>b bo`lsin. a va b sonlar orasida r son olsak, a>r>b, x_n=a, a>r bo`lgani uchun biror n<sub>1</sub>, nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>r, y<sub>n</sub>=b, b<r bo`lgani uchun biror n₂ nomerdan boshlab y_n bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub>>r va y<sub>n</sub> kelib chiqadi. Bundan x<sub>n</sub>>y<sub>n</sub> bo`ladi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
3.Agar barcha n lar uchun x<sub>n n</sub> < z<sub>n</sub> bo`lib, x_n= z_n=a bo`lsa, u holda y<sub>n</sub>=a bo`ladi.(isbotlang)